与えられた4つの行列のランクを求めます。 (1) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 9 \\ 2 & 6 & 2 \end{pmatrix}$ (4) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列のランクを求めます。

(1) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 9 \\ 2 & 6 & 2 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列のランクは、行列の線形独立な行（または列）の最大数です。行基本変形を使って、行列を階段行列に変形し、0でない行の数を数えることでランクを求めることができます。

(1) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

まず、3行目を2倍し、1行目から引きます。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

次に、3行目に2行目を加えます。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

この行列は3つの0でない行を持つので、ランクは3です。

(2) $\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}$

まず、1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 2 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}$

次に、3行目から1行目の2倍を引き、4行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & -1 & -5 & 4 \\ 0 & -3 & -15 & 12 \end{pmatrix}$

次に、3行目に2行目を加え、4行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この行列は2つの0でない行を持つので、ランクは2です。

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 9 \\ 2 & 6 & 2 \end{pmatrix}$

まず、2行目から1行目を引き、3行目から1行目を引き、4行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}$

次に、3行目に2行目を加え、4行目を2/3倍にします。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

次に、2行目を3で割り、2行目と4行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

最後に、4行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この行列は2つの0でない行を持つので、ランクは2です。

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

まず、2行目から1行目の4倍を引き、3行目から1行目の7倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この行列は2つの0でない行を持つので、ランクは2です。

3. 最終的な答え

(1) ランクは3

(2) ランクは2

(3) ランクは2

(4) ランクは2