与えられた等式 ${}^nC_0 - \frac{{}^nC_1}{2} + \frac{{}^nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}^nC_n}{2^n} = (\frac{1}{2})^n$ を証明します。

1. 問題の内容

与えられた等式 ${}^nC_0 - \frac{{}^nC_1}{2} + \frac{{}^nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}^nC_n}{2^n} = (\frac{1}{2})^n$ を証明します。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。二項定理は、任意の実数 $x$ と $y$、および任意の非負整数 $n$ に対して、

$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {}^nC_k x^{n-k} y^k = {}^nC_0 x^n + {}^nC_1 x^{n-1}y + {}^nC_2 x^{n-2}y^2 + \dots + {}^nC_n y^n$$

と表されます。

与えられた等式の左辺は、二項定理の式において $x=1$、$y=-\frac{1}{2}$ とおいた場合に得られます。

したがって、

$$(1 - \frac{1}{2})^n = \sum_{k=0}^{n} {}^nC_k (1)^{n-k} (-\frac{1}{2})^k = {}^nC_0 - \frac{{}^nC_1}{2} + \frac{{}^nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}^nC_n}{2^n}$$

が成り立ちます。

左辺を計算すると、

$$(1 - \frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^n$$

となります。

したがって、

$${}^nC_0 - \frac{{}^nC_1}{2} + \frac{{}^nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}^nC_n}{2^n} = (\frac{1}{2})^n$$

が成り立つことが証明されました。

3. 最終的な答え

$${}^nC_0 - \frac{{}^nC_1}{2} + \frac{{}^nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}^nC_n}{2^n} = (\frac{1}{2})^n$$