命題A「a, bが無理数ならば、a+bは無理数またはabは無理数である」について、以下の問いに答える。 (1) 命題Aが偽であることを示す反例が含まれる集合を選ぶ。また、命題Aの反例となるa, bの組を2つ選ぶ。 (2) 「クラスのすべての生徒はスマートフォンを持っている」という命題が成り立たないとき、どのような状態かを選ぶ。同様に、命題Aが成り立たないとき、どのような状態かを選ぶ。

1. 問題の内容

命題A「a, bが無理数ならば、a+bは無理数またはabは無理数である」について、以下の問いに答える。

(1) 命題Aが偽であることを示す反例が含まれる集合を選ぶ。また、命題Aの反例となるa, bの組を2つ選ぶ。

(2) 「クラスのすべての生徒はスマートフォンを持っている」という命題が成り立たないとき、どのような状態かを選ぶ。同様に、命題Aが成り立たないとき、どのような状態かを選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 命題Aが偽であるということは、「a, bが無理数」であり、かつ「a+bは有理数で、かつabも有理数」であるということ。

- Pはa, bが無理数の集合。Qはa+bが無理数またはabが無理数の集合。したがって、命題Aの反例は、Pに属し、Qに属さない。つまり、$P \cap \overline{Q}$ に含まれる。

- 反例となるa, bの組を探す。

- ① a=2, b=3: a+b = 5, ab = 6 (どちらも有理数)。a, bは有理数なので不適。

- ② $a = -\sqrt{2} + 1, b = -\sqrt{2} - 1$: $a+b = -2\sqrt{2}$ (無理数), $ab = (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = 2-1 = 1$ (有理数)。不適。

- ③ $a = 1 + \sqrt{2}, b = 1 - \sqrt{2}$: $a+b = 2$ (有理数), $ab = (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1 - 2 = -1$ (有理数)。a, bは無理数なので適する。

- ④ $a = \sqrt{2}, b = -\sqrt{2}$: $a+b = 0$ (有理数), $ab = -2$ (有理数)。a, bは無理数なので適する。

- ⑤ $a = \sqrt{2}, b = 1 - \sqrt{2}$: $a+b = 1$ (有理数), $ab = \sqrt{2}(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 2$ (無理数)。不適。

(2) 「クラスのすべての生徒はスマートフォンを持っている」という命題が成り立たないということは、「クラスのある生徒はスマートフォンを持っていない」ということ。

命題Aが成り立たないということは、「ある無理数a, bに対して、a+bは有理数かつabは有理数である」ということ。

3. 最終的な答え

ア: ②

イ: ③

ウ: ④

エ: ③

オ: ②