$x$ が $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ が $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた級数は、初項が $1$ で公比が $2x$ の無限等比級数です。

無限等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が $1$ より小さいことです。つまり、

$|2x| < 1$

これは

$-1 < 2x < 1$

となり、両辺を $2$ で割ると

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

となります。これは問題文の条件と一致しています。

無限等比級数の和の公式は、初項を $a$, 公比を $r$ とすると、

$S = \frac{a}{1-r}$

です。この問題の場合、$a = 1$ で $r = 2x$ なので、和は

$S = \frac{1}{1-2x}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1-2x}$