(11) 放物線 $y = -x^2 - 6x + 8$ の頂点の座標を求める。 (12) 2次不等式 $x^2 + x - 12 \leq 0$ を解く。 (13) 円の弦AB, CDがあり、2直線AB, CDの交点をPとする。PA=6, AB=12, PC=7のとき、PDの値をxとしてxを求める。

1. 問題の内容

(11) 放物線 $y = -x^2 - 6x + 8$ の頂点の座標を求める。

(12) 2次不等式 $x^2 + x - 12 \leq 0$ を解く。

(13) 円の弦AB, CDがあり、2直線AB, CDの交点をPとする。PA=6, AB=12, PC=7のとき、PDの値をxとしてxを求める。

2. 解き方の手順

(11)

まず、与えられた放物線の式を平方完成します。

$y = -x^2 - 6x + 8$

$y = -(x^2 + 6x) + 8$

$y = -(x^2 + 6x + 9 - 9) + 8$

$y = -((x + 3)^2 - 9) + 8$

$y = -(x + 3)^2 + 9 + 8$

$y = -(x + 3)^2 + 17$

頂点の座標は $(-3, 17)$ となります。

(12)

与えられた2次不等式を因数分解します。

$x^2 + x - 12 \leq 0$

$(x + 4)(x - 3) \leq 0$

したがって、$-4 \leq x \leq 3$

(13)

方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立ちます。

$PA = 6$, $AB = 12$なので、$PB = PA + AB = 6 + 12 = 18$。

$PC = 7$, $PD = x + 7$です。

したがって、

$6 \cdot 18 = 7 \cdot (x+7)$

$108 = 7x + 49$

$7x = 108 - 49$

$7x = 59$

$x = \frac{59}{7}$

3. 最終的な答え

(11) 頂点の座標: $(-3, 17)$

(12) 解: $-4 \leq x \leq 3$

(13) $x = \frac{59}{7}$