与えられた行列 A と B の余因子行列と逆行列を求める問題です。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 A と B の余因子行列と逆行列を求める問題です。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列 $A$ および $B$ の余因子行列と逆行列を求める手順は以下の通りです。

(1) 行列 $A$ の場合

まず、行列 $A$ の余因子行列を計算します。余因子 $C_{ij}$ は、行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものです。

$C_{11} = (-1)^{1+1}(4 \cdot 2 - (-2) \cdot 0) = 8$

$C_{12} = (-1)^{1+2}(1 \cdot 2 - (-2) \cdot 3) = -8$

$C_{13} = (-1)^{1+3}(1 \cdot 0 - 4 \cdot 3) = -12$

$C_{21} = (-1)^{2+1}(3 \cdot 2 - 0 \cdot 0) = -6$

$C_{22} = (-1)^{2+2}(1 \cdot 2 - 0 \cdot 3) = 2$

$C_{23} = (-1)^{2+3}(1 \cdot 0 - 3 \cdot 3) = 9$

$C_{31} = (-1)^{3+1}(3 \cdot (-2) - 4 \cdot 0) = -6$

$C_{32} = (-1)^{3+2}(1 \cdot (-2) - 1 \cdot 0) = 2$

$C_{33} = (-1)^{3+3}(1 \cdot 4 - 1 \cdot 3) = 1$

したがって、余因子行列 $C$ は次のようになります。

$C = \begin{pmatrix} 8 & -8 & -12 \\ -6 & 2 & 9 \\ -6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

余因子行列の転置行列である、adj(A) は次のようになります。

$adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} 8 & -6 & -6 \\ -8 & 2 & 2 \\ -12 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

次に、行列 $A$ の行列式を計算します。

$det(A) = 1(4 \cdot 2 - (-2) \cdot 0) - 3(1 \cdot 2 - (-2) \cdot 3) + 0(1 \cdot 0 - 4 \cdot 3) = 8 - 3(8) + 0 = 8 - 24 = -16$

最後に、逆行列 $A^{-1}$ を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) = \frac{1}{-16} \begin{pmatrix} 8 & -6 & -6 \\ -8 & 2 & 2 \\ -12 & 9 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 3/8 & 3/8 \\ 1/2 & -1/8 & -1/8 \\ 3/4 & -9/16 & -1/16 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $B$ の場合

行列 B の余因子行列、行列式、逆行列を同様に計算できます。余因子行列を計算するには、4x4 行列の行列式を何度も計算する必要があります。

$det(B) = 0$なので、逆行列は存在しません。余因子行列は計算できます。

$C_{11} = -2$

$C_{12} = 0$

$C_{13} = -2$

$C_{14} = 0$

$C_{21} = 0$

$C_{22} = 0$

$C_{23} = 0$

$C_{24} = 0$

$C_{31} = 0$

$C_{32} = 0$

$C_{33} = -2$

$C_{34} = 0$

$C_{41} = -2$

$C_{42} = 0$

$C_{43} = 0$

$C_{44} = -2$

したがって、余因子行列 $C$ は次のようになります。

$C = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

余因子行列の転置行列である、adj(B) は次のようになります。

$adj(B) = C^T = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

行列 B の行列式を計算すると 0 になるため、逆行列は存在しません。

3. 最終的な答え

行列 A の余因子行列は

$\begin{pmatrix} 8 & -8 & -12 \\ -6 & 2 & 9 \\ -6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

行列 A の逆行列は

$\begin{pmatrix} -1/2 & 3/8 & 3/8 \\ 1/2 & -1/8 & -1/8 \\ 3/4 & -9/16 & -1/16 \end{pmatrix}$

行列 B の余因子行列は

$\begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

行列 B の逆行列は存在しません。