$\sum_{k=1}^{5} k(k+3)$ をシグマ記号を使わずに表し、計算の答えを求める。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{5} k(k+3)$ をシグマ記号を使わずに表し、計算の答えを求める。

2. 解き方の手順

まず、シグマの中身を展開する。

$k(k+3) = k^2 + 3k$

次に、シグマを分割する。

$\sum_{k=1}^{5} k(k+3) = \sum_{k=1}^{5} (k^2 + 3k) = \sum_{k=1}^{5} k^2 + \sum_{k=1}^{5} 3k = \sum_{k=1}^{5} k^2 + 3\sum_{k=1}^{5} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を使うと

$\sum_{k=1}^{5} k = \frac{5(5+1)}{2} = \frac{5 \times 6}{2} = 15$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を使うと

$\sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{5(5+1)(2\times5+1)}{6} = \frac{5 \times 6 \times 11}{6} = 55$

したがって、

$\sum_{k=1}^{5} k(k+3) = 55 + 3 \times 15 = 55 + 45 = 100$

シグマ記号を使わずに展開すると

$\sum_{k=1}^{5} k(k+3) = 1(1+3) + 2(2+3) + 3(3+3) + 4(4+3) + 5(5+3)$

$= 1(4) + 2(5) + 3(6) + 4(7) + 5(8)$

$= 4 + 10 + 18 + 28 + 40 = 100$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{5} k(k+3) = 1(1+3) + 2(2+3) + 3(3+3) + 4(4+3) + 5(5+3) = 100$