$(3x - y)^5$ の展開式を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x - y)^5$ の展開式を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を利用して展開します。二項定理は以下のように表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

この問題では、$a = 3x$, $b = -y$, $n = 5$ です。

展開式は次のようになります。

$\binom{5}{0} (3x)^5 (-y)^0 + \binom{5}{1} (3x)^4 (-y)^1 + \binom{5}{2} (3x)^3 (-y)^2 + \binom{5}{3} (3x)^2 (-y)^3 + \binom{5}{4} (3x)^1 (-y)^4 + \binom{5}{5} (3x)^0 (-y)^5$

各項を計算します。

$\binom{5}{0} = 1$, $\binom{5}{1} = 5$, $\binom{5}{2} = 10$, $\binom{5}{3} = 10$, $\binom{5}{4} = 5$, $\binom{5}{5} = 1$

$(3x)^5 = 243x^5$, $(3x)^4 = 81x^4$, $(3x)^3 = 27x^3$, $(3x)^2 = 9x^2$, $(3x)^1 = 3x$, $(3x)^0 = 1$

$(-y)^0 = 1$, $(-y)^1 = -y$, $(-y)^2 = y^2$, $(-y)^3 = -y^3$, $(-y)^4 = y^4$, $(-y)^5 = -y^5$

したがって、展開式は以下のようになります。

$1 \cdot 243x^5 \cdot 1 + 5 \cdot 81x^4 \cdot (-y) + 10 \cdot 27x^3 \cdot y^2 + 10 \cdot 9x^2 \cdot (-y^3) + 5 \cdot 3x \cdot y^4 + 1 \cdot 1 \cdot (-y^5)$

$243x^5 - 405x^4y + 270x^3y^2 - 90x^2y^3 + 15xy^4 - y^5$

3. 最終的な答え

$243x^5 - 405x^4y + 270x^3y^2 - 90x^2y^3 + 15xy^4 - y^5$