与えられた3つの連立方程式を掃き出し法で解く問題です。 (1) $3x + 2y = 0$ $x - 2y = 8$ (2) $-x + z = 1$ $-y + 4z = 7$ $2x + y + 2z = 3$ (3) $\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの連立方程式を掃き出し法で解く問題です。

(1)

$3x + 2y = 0$

$x - 2y = 8$

(2)

$-x + z = 1$

$-y + 4z = 7$

$2x + y + 2z = 3$

(3)

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

連立方程式を行列で表現すると、

$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}$

拡大行列は、

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 8 \end{pmatrix}$

まず、2行を3倍します。

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 3 & -6 & 24 \end{pmatrix}$

2行から1行を引きます。

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & -8 & 24 \end{pmatrix}$

2行を-8で割ります。

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

1行から2行の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

1行を3で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

(2)

連立方程式を行列で表現すると、

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}$

拡大行列は、

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

3行に1行の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

3行に2行を加えます。

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 8 & 12 \end{pmatrix}$

3行を8で割ります。

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{pmatrix}$

2行から3行の4倍を引きます。

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{pmatrix}$

1行から3行を引きます。

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & -1/2 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{pmatrix}$

1行、2行に-1を掛けます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 \end{pmatrix}$

(3)

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

拡大行列は、

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

1行と3行を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

2行に1行を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

3行から1行の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

2行と3行を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

3行から2行の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \end{pmatrix}$

3行を-2で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2行から3行を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1行から2行を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1行に3行を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$, $y = -3$

(2) $x = 1/2$, $y = -1$, $z = 3/2$

(3) $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$