問題16: $2^{\frac{5}{2}} \times 3^{\frac{3}{2}} \times 6^{-\frac{1}{2}}$ を計算する。 問題17: 次の方程式、不等式を解く。 (1) $3^{x+3-1} = 27$ (2) $25^{x-1} \ge 5\sqrt{5}$ (3) $(\frac{1}{2})^{2x} > (\frac{1}{4})^{1-x}$ 問題18: 次の方程式、不等式を解く。 (1) $\log_5 x^2 = 4$ (2) $\log_{\frac{1}{2}} x > -\frac{2}{3}$ (3) $\log_3(2x-1) + \log_3(x+3) = 2$

1. 問題の内容

問題16: $2^{\frac{5}{2}} \times 3^{\frac{3}{2}} \times 6^{-\frac{1}{2}}$ を計算する。

問題17: 次の方程式、不等式を解く。

(1) $3^{x+3-1} = 27$

(2) $25^{x-1} \ge 5\sqrt{5}$

(3) $(\frac{1}{2})^{2x} > (\frac{1}{4})^{1-x}$

問題18: 次の方程式、不等式を解く。

(1) $\log_5 x^2 = 4$

(2) $\log_{\frac{1}{2}} x > -\frac{2}{3}$

(3) $\log_3(2x-1) + \log_3(x+3) = 2$

2. 解き方の手順

問題16:

$2^{\frac{5}{2}} \times 3^{\frac{3}{2}} \times 6^{-\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}} \times 3^{\frac{3}{2}} \times (2 \times 3)^{-\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}} \times 3^{\frac{3}{2}} \times 2^{-\frac{1}{2}} \times 3^{-\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}-\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}} = 2^{\frac{4}{2}} \times 3^{\frac{2}{2}} = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$

問題17:

(1) $3^{x+3-1} = 27 \implies 3^{x+2} = 3^3 \implies x+2 = 3 \implies x = 1$

(2) $25^{x-1} \ge 5\sqrt{5} \implies (5^2)^{x-1} \ge 5^1 \times 5^{\frac{1}{2}} \implies 5^{2(x-1)} \ge 5^{\frac{3}{2}} \implies 2(x-1) \ge \frac{3}{2} \implies 2x - 2 \ge \frac{3}{2} \implies 2x \ge \frac{7}{2} \implies x \ge \frac{7}{4}$

(3) $(\frac{1}{2})^{2x} > (\frac{1}{4})^{1-x} \implies (2^{-1})^{2x} > (2^{-2})^{1-x} \implies 2^{-2x} > 2^{-2(1-x)} \implies -2x > -2(1-x) \implies -2x > -2+2x \implies 4x < 2 \implies x < \frac{1}{2}$

問題18:

(1) $\log_5 x^2 = 4 \implies x^2 = 5^4 \implies x = \pm \sqrt{5^4} \implies x = \pm 25$

(2) $\log_{\frac{1}{2}} x > -\frac{2}{3} \implies x < (\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} \implies x < (2^{-1})^{-\frac{2}{3}} \implies x < 2^{\frac{2}{3}}$

ただし、真数条件より $x > 0$ であるため、$0 < x < 2^{\frac{2}{3}}$

(3) $\log_3(2x-1) + \log_3(x+3) = 2 \implies \log_3((2x-1)(x+3)) = 2 \implies (2x-1)(x+3) = 3^2 \implies 2x^2 + 6x - x - 3 = 9 \implies 2x^2 + 5x - 12 = 0 \implies (2x-3)(x+4) = 0 \implies x = \frac{3}{2}, -4$

真数条件より、$2x-1 > 0$ かつ $x+3 > 0$ である必要がある。つまり、$x > \frac{1}{2}$ かつ $x > -3$ が必要。

したがって、$x > \frac{1}{2}$ を満たす必要があるため、$x = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

問題16: 12

問題17: (1) $x=1$, (2) $x \ge \frac{7}{4}$, (3) $x < \frac{1}{2}$

問題18: (1) $x = \pm 25$, (2) $0 < x < 2^{\frac{2}{3}}$, (3) $x = \frac{3}{2}$