与えられた式 $2^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{5}{2}} \times 6^{-\frac{1}{2}}$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{5}{2}} \times 6^{-\frac{1}{2}}$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$6$ を $2 \times 3$ と分解します。

$2^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{5}{2}} \times (2 \times 3)^{-\frac{1}{2}}$

指数の法則 $(ab)^n = a^n b^n$ を適用します。

$2^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{5}{2}} \times 2^{-\frac{1}{2}} \times 3^{-\frac{1}{2}}$

指数の法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を適用して、底が同じ項をまとめます。

$2^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} \times 3^{\frac{5}{2} - \frac{1}{2}}$

指数の計算をします。

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$

$\frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

したがって、式は次のようになります。

$2^{\frac{1}{6}} \times 3^2$

$3^2$ を計算します。

$3^2 = 9$

したがって、式は次のようになります。

$2^{\frac{1}{6}} \times 9$

$2^{\frac{1}{6}}$ は $\sqrt[6]{2}$ と同じです。

$9\sqrt[6]{2}$

3. 最終的な答え

$9\sqrt[6]{2}$