$x \geq 1$, $y \geq 1$ のとき、$xy + 1 \geq x + y$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

1. 問題の内容

$x \geq 1$, $y \geq 1$ のとき、$xy + 1 \geq x + y$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

2. 解き方の手順

まず、$xy + 1 \geq x + y$ を示す。

両辺から $x + y$ を引くと、

$xy + 1 - x - y \geq 0$ となることを示せばよい。

左辺を因数分解することを考える。

$xy - x - y + 1 = x(y - 1) - (y - 1) = (x - 1)(y - 1)$

したがって、$xy + 1 - x - y = (x - 1)(y - 1)$

$x \geq 1$ より $x - 1 \geq 0$

$y \geq 1$ より $y - 1 \geq 0$

したがって、 $(x - 1)(y - 1) \geq 0$

よって、$xy + 1 - x - y \geq 0$

したがって、$xy + 1 \geq x + y$ が成り立つ。

次に、等号が成り立つ場合を調べる。

等号が成り立つのは、$(x - 1)(y - 1) = 0$ のときである。

これは、$x - 1 = 0$ または $y - 1 = 0$ のとき。

つまり、$x = 1$ または $y = 1$ のとき。

3. 最終的な答え

$x \geq 1$, $y \geq 1$ のとき、$xy + 1 \geq x + y$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$x = 1$ または $y = 1$ のとき。