$a \ge 1$ のとき、$a^2 \ge 1$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ場合を調べよ。

1. 問題の内容

$a \ge 1$ のとき、$a^2 \ge 1$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ場合を調べよ。

2. 解き方の手順

不等式の証明なので、$a^2 - 1 \ge 0$ を示すことを目指します。

まず、$a^2 - 1$ を因数分解します。

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

次に、$a \ge 1$ という条件から、$a - 1 \ge 0$ かつ $a + 1 \ge 0$ であることがわかります。

したがって、$(a - 1)(a + 1) \ge 0$ が成り立ちます。これは、$a^2 - 1 \ge 0$ を意味します。

よって、$a^2 \ge 1$ が証明されました。

等号が成り立つのは、$(a - 1)(a + 1) = 0$ のときです。これは、$a - 1 = 0$ または $a + 1 = 0$ のときを意味します。$a \ge 1$ という条件があるので、$a - 1 = 0$ の場合のみを考えます。したがって、$a = 1$ のとき等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a \ge 1$ のとき、$a^2 \ge 1$ が成り立つ。等号が成り立つのは、$a = 1$ のとき。