まず、 $4^{-\log_2 x}$ を $2$ の累乗の形に変形します。 $4^{-\log_2 x} = (2^2)^{-\log_2 x} = 2^{-2\log_2 x} = 2^{\log_2 x^{-2}} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ したがって、1つ目の式は $\frac{1}{x^2} = \frac{y}{2}$ となります。 これを変形して、$y = \frac{2}{x^2}$ を得ます。

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1. 問題の内容

以下の連立方程式を解く問題です。

$$

\begin{cases}

4^{-\log_2 x} = \frac{y}{2} \\

\log_3 x + \log_3 y = 2

\end{cases}

$$

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2. 解き方の手順

1. **1つ目の式を変形する：**

まず、 $4^{-\log_2 x}$ を $2$ の累乗の形に変形します。

$4^{-\log_2 x} = (2^2)^{-\log_2 x} = 2^{-2\log_2 x} = 2^{\log_2 x^{-2}} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

したがって、1つ目の式は $\frac{1}{x^2} = \frac{y}{2}$ となります。

これを変形して、$y = \frac{2}{x^2}$ を得ます。

2. **2つ目の式を変形する：**

2つ目の式 $\log_3 x + \log_3 y = 2$ を、対数の性質を用いて変形します。

$\log_3 (xy) = 2$

したがって、$xy = 3^2 = 9$ を得ます。

3. **連立方程式を解く：**

$y = \frac{2}{x^2}$ を $xy = 9$ に代入します。

$x \cdot \frac{2}{x^2} = 9$

$\frac{2}{x} = 9$

$x = \frac{2}{9}$

4. **yを求める：**

$x = \frac{2}{9}$ を $y = \frac{2}{x^2}$ に代入します。

$y = \frac{2}{(\frac{2}{9})^2} = \frac{2}{\frac{4}{81}} = 2 \cdot \frac{81}{4} = \frac{81}{2}$

##

3. 最終的な答え

$x = \frac{2}{9}$, $y = \frac{81}{2}$