放物線 $y=ax^2$ ($a < 0$) と $y=bx^2$ ($b > 0$) があり、点Aの$x$座標が$n$であるとき、以下の問いに答えます。 (1) 点Aの$y$座標を$n$で表す。 (2) 点Bの座標を$n$で表す。 (3) 点Cの座標を$n$で表す。 (4) 線分ABの距離を$n$で表す。 (5) 線分CBの距離を$n$で表す。

1. 問題の内容

放物線 $y=ax^2$ ($a < 0$) と $y=bx^2$ ($b > 0$) があり、点Aの$x$座標が$n$であるとき、以下の問いに答えます。

(1) 点Aの$y$座標を$n$で表す。

(2) 点Bの座標を$n$で表す。

(3) 点Cの座標を$n$で表す。

(4) 線分ABの距離を$n$で表す。

(5) 線分CBの距離を$n$で表す。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは放物線 $y = ax^2$ 上にあり、$x$座標は$n$なので、$y$座標は $a n^2$ となります。

(2) 線分ABは$x$軸と平行なので、点Bの$y$座標は点Aの$y$座標と等しく、$an^2$ です。点Bは放物線 $y = ax^2$ 上にあるので、$an^2 = a x^2$ を満たします。したがって、$x^2 = n^2$ より、$x = \pm n$ となります。点Aの$x$座標が$n$なので、点Bの$x$座標は $-n$ です。したがって、点Bの座標は $(-n, an^2)$ です。

(3) 線分CBは$y$軸と平行なので、点Cの$x$座標は点Bの$x$座標と等しく、$-n$ です。点Cは放物線 $y = bx^2$ 上にあるので、$y = b(-n)^2 = bn^2$ となります。したがって、点Cの座標は $(-n, bn^2)$ です。

(4) 点Aの座標は $(n, an^2)$、点Bの座標は $(-n, an^2)$ なので、線分ABの距離は $n - (-n) = 2n$ となります。

(5) 点Cの座標は $(-n, bn^2)$、点Bの座標は $(-n, an^2)$ なので、線分CBの距離は $bn^2 - an^2 = (b-a)n^2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 点Aの$y$座標：$an^2$

(2) 点Bの座標：$(-n, an^2)$

(3) 点Cの座標：$(-n, bn^2)$

(4) 線分ABの距離：$2n$

(5) 線分CBの距離：$(b-a)n^2$