数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n = 2a_n - 1$ であるとき、以下の問いに答えよ。 (1) $a_{n+1} = 2a_n$ であることを示せ。 (2) 第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n = 2a_n - 1$ であるとき、以下の問いに答えよ。

(1) $a_{n+1} = 2a_n$ であることを示せ。

(2) 第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $n \ge 1$ に対して、 $S_n = 2a_n - 1$ が成り立つ。$n+1$ のときも同様に、

$S_{n+1} = 2a_{n+1} - 1$

が成り立つ。ここで、$S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$ であるから、

$S_n + a_{n+1} = 2a_{n+1} - 1$

$a_{n+1} = S_n + 1$

$S_n = 2a_n - 1$ を代入すると、

$a_{n+1} = 2a_n - 1 + 1$

$a_{n+1} = 2a_n$

よって、$a_{n+1} = 2a_n$ が示された。

(2) $S_1 = a_1$ であるから、$a_1 = 2a_1 - 1$ が成り立つ。したがって、

$a_1 = 1$

(1)より、$a_{n+1} = 2a_n$ であるから、数列 $\{a_n\}$ は初項 $1$、公比 $2$ の等比数列である。よって、

$a_n = 1 \cdot 2^{n-1}$

$a_n = 2^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_{n+1} = 2a_n$

(2) $a_n = 2^{n-1}$