2次方程式 $kx^2 + 2(k-1)x + k + 2 = 0$ の実数解の個数が、正の定数 $k$ の値によってどのように変わるかを調べる問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $kx^2 + 2(k-1)x + k + 2 = 0$ の実数解の個数が、正の定数 $k$ の値によってどのように変わるかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式の実数解の個数は判別式 $D$ によって決まります。まず、与えられた2次方程式の判別式を計算します。

$D = \{2(k-1)\}^2 - 4k(k+2)$

$D = 4(k^2 - 2k + 1) - 4k^2 - 8k$

$D = 4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 - 8k$

$D = -16k + 4$

次に、$D$ の符号によって実数解の個数がどのように変化するかを調べます。

* $D > 0$ のとき、2つの異なる実数解を持つ。

* $D = 0$ のとき、1つの実数解（重解）を持つ。

* $D < 0$ のとき、実数解を持たない。

$D > 0$ のとき、$-16k + 4 > 0$ を解くと、

$-16k > -4$

$k < \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$D = 0$ のとき、$-16k + 4 = 0$ を解くと、

$-16k = -4$

$k = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$D < 0$ のとき、$-16k + 4 < 0$ を解くと、

$-16k < -4$

$k > \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

ただし、$k=0$の場合、与えられた式は二次方程式でなくなるため、$k>0$の範囲で考えます。

したがって、$k$ の値によって、実数解の個数は以下のようになります。

* $0 < k < \frac{1}{4}$ のとき、2つの異なる実数解を持つ。

* $k = \frac{1}{4}$ のとき、1つの実数解（重解）を持つ。

* $k > \frac{1}{4}$ のとき、実数解を持たない。

3. 最終的な答え

$0 < k < \frac{1}{4}$ のとき、2つの異なる実数解を持つ。

$k = \frac{1}{4}$ のとき、1つの実数解（重解）を持つ。

$k > \frac{1}{4}$ のとき、実数解を持たない。