与えられた2つの連立不等式を解く問題です。 (1) $ \begin{cases} x^2 + x - 2 > 0 \\ x^2 - 4x - 1 \le 0 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} x^2 - 2x - 1 > 0 \\ x^2 - x - 6 < 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた2つの連立不等式を解く問題です。

(1)

$$

\begin{cases}

x^2 + x - 2 > 0 \\

x^2 - 4x - 1 \le 0

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

x^2 - 2x - 1 > 0 \\

x^2 - x - 6 < 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 + x - 2 > 0$ を解きます。

$(x + 2)(x - 1) > 0$ より、$x < -2$ または $x > 1$。

次に、$x^2 - 4x - 1 \le 0$ を解きます。

$x^2 - 4x - 1 = 0$ の解は、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$。

したがって、$2 - \sqrt{5} \le x \le 2 + \sqrt{5}$。

$2 - \sqrt{5} \approx 2 - 2.236 = -0.236$、 $2 + \sqrt{5} \approx 2 + 2.236 = 4.236$。

$x < -2$ または $x > 1$ と $2 - \sqrt{5} \le x \le 2 + \sqrt{5}$ の共通範囲を求めます。

$2 - \sqrt{5} \le x < -2$ は存在しないので、$1 < x \le 2 + \sqrt{5}$。

(2)

まず、$x^2 - 2x - 1 > 0$ を解きます。

$x^2 - 2x - 1 = 0$ の解は、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$。

したがって、$x < 1 - \sqrt{2}$ または $x > 1 + \sqrt{2}$。

$1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$、 $1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$。

次に、$x^2 - x - 6 < 0$ を解きます。

$(x - 3)(x + 2) < 0$ より、$-2 < x < 3$。

$x < 1 - \sqrt{2}$ または $x > 1 + \sqrt{2}$ と $-2 < x < 3$ の共通範囲を求めます。

$-2 < x < 1 - \sqrt{2}$ または $1 + \sqrt{2} < x < 3$。

3. 最終的な答え

(1) $1 < x \le 2 + \sqrt{5}$

(2) $-2 < x < 1 - \sqrt{2}$ または $1 + \sqrt{2} < x < 3$