与えられた2次不等式 $-3x^2 - 10x - 3 \geq 0$ を解き、$x$ の範囲を求めます。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式 $-3x^2 - 10x - 3 \geq 0$ を解き、$x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 不等式の両辺に -1 をかけます。これにより、$x^2$ の係数が正になり、扱いやすくなります。不等号の向きが変わることに注意してください。

$3x^2 + 10x + 3 \leq 0$

ステップ2: 2次式を因数分解します。

$3x^2 + 10x + 3 = (3x + 1)(x + 3)$

したがって、不等式は次のようになります。

$(3x + 1)(x + 3) \leq 0$

ステップ3: 不等式を満たす $x$ の範囲を求めます。

$(3x+1)(x+3) = 0$となる$x$は$x = -\frac{1}{3}$と$x = -3$です。

$3x+1=0$ となるのは $x = -\frac{1}{3}$ のときです。

$x+3=0$ となるのは $x = -3$ のときです。

数直線上で $x = -3$ と $x = -\frac{1}{3}$ をマークし、3つの区間 $(-\infty, -3]$, $[-3, -\frac{1}{3}]$, $[-\frac{1}{3}, \infty)$ を考えます。

* $x < -3$ のとき: 例えば $x = -4$ を代入すると、$(3(-4) + 1)(-4 + 3) = (-11)(-1) = 11 > 0$ となり、不等式を満たしません。

* $-3 \leq x \leq -\frac{1}{3}$ のとき: 例えば $x = -1$ を代入すると、$(3(-1) + 1)(-1 + 3) = (-2)(2) = -4 \leq 0$ となり、不等式を満たします。

* $x > -\frac{1}{3}$ のとき: 例えば $x = 0$ を代入すると、$(3(0) + 1)(0 + 3) = (1)(3) = 3 > 0$ となり、不等式を満たしません。

したがって、不等式を満たす $x$ の範囲は $-3 \leq x \leq -\frac{1}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$-3 \leq x \leq -\frac{1}{3}$