1. 問題の内容
与えられた3つの行列のランクをそれぞれ求めます。
2. 解き方の手順
行列のランクは、その行列の線形独立な行（または列）の最大数です。基本的には、行列を簡約化（階段行列にする）して、ゼロでない行の数を数えます。行基本変形を用いて計算します。
(1)
与えられた行列は
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
まず、3行目を2倍して1行目から引きます。
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
次に、1行目を2行目から引きます。
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
1行目と3行目を入れ替えます。
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
これは階段行列であり、ゼロでない行は3行なので、ランクは3です。
(2)
与えられた行列は
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 5 & -4 \\
1 & -1 & 3 & -2 \\
2 & -5 & -9 & 8
\end{pmatrix}
1行目と3行目を入れ替えます。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -2 \\
0 & 1 & 5 & -4 \\
2 & -3 & 1 & 0 \\
2 & -5 & -9 & 8
\end{pmatrix}
1行目を-2倍して3行目と4行目に足します。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -2 \\
0 & 1 & 5 & -4 \\
0 & -1 & -5 & 4 \\
0 & -3 & -15 & 12
\end{pmatrix}
2行目を1倍して3行目に足し、3倍して4行目に足します。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & -2 \\
0 & 1 & 5 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
ゼロでない行は2行なので、ランクは2です。
(3)
与えられた行列は
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 5 & -3 \\
1 & -1 & 9 \\
2 & 6 & 2
\end{pmatrix}
1行目を-1倍して2行目と3行目に足し、-2倍して4行目に足します。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 3 & -6 \\
0 & -3 & 6 \\
0 & 2 & -4
\end{pmatrix}
2行目を3行目に足します。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 3 & -6 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -4
\end{pmatrix}
2行目を2/3倍して4行目から引きます。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 3 & -6 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
ゼロでない行は2行なので、ランクは2です。
3. 最終的な答え
(1) ランク: 3
(2) ランク: 2
(3) ランク: 2