放物線 $y = x^2 + (2t - 10)x - 4t + 16$ の頂点を P とする。$t$ が 0 以上の値をとって変化するとき、頂点 P の軌跡を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + (2t - 10)x - 4t + 16$ の頂点を P とする。$t$ が 0 以上の値をとって変化するとき、頂点 P の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

放物線の式を平方完成して、頂点の座標を $t$ の式で表す。

$y = x^2 + (2t - 10)x - 4t + 16$

$y = (x + t - 5)^2 - (t - 5)^2 - 4t + 16$

$y = (x + t - 5)^2 - (t^2 - 10t + 25) - 4t + 16$

$y = (x + t - 5)^2 - t^2 + 6t - 9$

$y = (x + t - 5)^2 - (t - 3)^2$

したがって、頂点 P の座標は $(-t + 5, -t^2 + 6t - 9)$ となる。

$x = -t + 5$ より $t = -x + 5$。 $t \ge 0$ より $-x + 5 \ge 0$ なので $x \le 5$。

これを $y = -t^2 + 6t - 9$ に代入すると、

$y = -(-x + 5)^2 + 6(-x + 5) - 9$

$y = -(x^2 - 10x + 25) - 6x + 30 - 9$

$y = -x^2 + 10x - 25 - 6x + 21$

$y = -x^2 + 4x - 4$

$y = -(x - 2)^2$

$t \ge 0$ のとき $x \le 5$ であるから、求める軌跡は

$y = -(x - 2)^2$ ($x \le 5$)

3. 最終的な答え

$y = -(x - 2)^2$ ($x \le 5$)