$2x + 25y = 1993$ を満たす整数 $x, y$ のうち、$|x - y|$ が最小になるような $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

$2x + 25y = 1993$ を満たす整数 $x, y$ のうち、$|x - y|$ が最小になるような $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式 $2x + 25y = 1993$ の特殊解を一つ見つける。

$2x = 1993 - 25y$ より、$x = \frac{1993 - 25y}{2}$ となる。

$x$ が整数であるためには、$1993 - 25y$ が偶数である必要がある。

$1993$ は奇数なので、$25y$ が奇数になるように $y$ を選ぶ。

例えば、$y = 1$ とすると、$x = \frac{1993 - 25}{2} = \frac{1968}{2} = 984$ となり、整数解 $(x, y) = (984, 1)$ が得られる。

したがって、$(x, y) = (984, 1)$ は $2x + 25y = 1993$ の特殊解である。

次に、一般解を求める。

$2x + 25y = 1993$

$2 \cdot 984 + 25 \cdot 1 = 1993$

辺々引くと

$2(x - 984) + 25(y - 1) = 0$

$2(x - 984) = -25(y - 1)$

$2$ と $25$ は互いに素なので、$x - 984$ は $25$ の倍数、$y - 1$ は $2$ の倍数である。

したがって、整数 $k$ を用いて

$x - 984 = 25k$

$y - 1 = -2k$

と表せる。

よって、一般解は

$x = 984 + 25k$

$y = 1 - 2k$

となる。

$|x - y| = |(984 + 25k) - (1 - 2k)| = |983 + 27k|$ を最小にする整数 $k$ を求める。

$983 + 27k = 0$ となる $k$ を考えると、$k = -\frac{983}{27} \approx -36.4$

したがって、$k = -36$ または $k = -37$ が $|983 + 27k|$ を最小にする候補である。

$k = -36$ のとき、$|983 + 27(-36)| = |983 - 972| = |11| = 11$

$k = -37$ のとき、$|983 + 27(-37)| = |983 - 999| = |-16| = 16$

よって、$k = -36$ のとき、$|x - y|$ が最小になる。

$x = 984 + 25(-36) = 984 - 900 = 84$

$y = 1 - 2(-36) = 1 + 72 = 73$

3. 最終的な答え

$x = 84$, $y = 73$