問題は二つあります。 (1) $3 \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} - 2{}^t \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ -2 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ を計算する。 (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ を計算する。

1. 問題の内容

問題は二つあります。

(1) $3 \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} - 2{}^t \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ -2 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ を計算する。

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた行列にそれぞれスカラーを掛けます。

$3 \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & 3 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}$

次に、${}^t \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ -2 & 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$を計算し、$2$を掛けます。

$2{}^t \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ -2 & 0 & 5 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 2 & 0 \\ 8 & 10 \end{pmatrix}$

最後に、引き算を行います。

$\begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & 3 \\ 6 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ 2 & 0 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-6 & -6-(-4) \\ 9-2 & 3-0 \\ 6-8 & -3-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 7 & 3 \\ -2 & -13 \end{pmatrix}$

(2) 行列の積を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+2\cdot2+1\cdot1 & 1\cdot2+2\cdot(-1)+1\cdot2 & 1\cdot3+2\cdot2+1\cdot0 & 1\cdot1+2\cdot1+1\cdot1 \\ 2\cdot1+1\cdot2+1\cdot1 & 2\cdot2+1\cdot(-1)+1\cdot2 & 2\cdot3+1\cdot2+1\cdot0 & 2\cdot1+1\cdot1+1\cdot1 \\ 3\cdot1+0\cdot2+1\cdot1 & 3\cdot2+0\cdot(-1)+1\cdot2 & 3\cdot3+0\cdot2+1\cdot0 & 3\cdot1+0\cdot1+1\cdot1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1+4+1 & 2-2+2 & 3+4+0 & 1+2+1 \\ 2+2+1 & 4-1+2 & 6+2+0 & 2+1+1 \\ 3+0+1 & 6+0+2 & 9+0+0 & 3+0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 7 & 4 \\ 5 & 5 & 8 & 4 \\ 4 & 8 & 9 & 4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 7 & 3 \\ -2 & -13 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 6 & 2 & 7 & 4 \\ 5 & 5 & 8 & 4 \\ 4 & 8 & 9 & 4 \end{pmatrix}$