不等式 $\frac{1}{x-1} < x-1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{1}{x-1} < x-1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x-1$ が0でない、つまり、$x \neq 1$ であることを確認します。

次に、不等式を解くために、両辺に $(x-1)^2$ を掛けます。$(x-1)^2$ は常に正であるため、不等号の向きは変わりません。

$$\frac{1}{x-1} < x-1$$

$$(x-1)^2 \cdot \frac{1}{x-1} < (x-1)^2 \cdot (x-1)$$

$$x-1 < (x-1)^3$$

$$x-1 < x^3 - 3x^2 + 3x - 1$$

$$0 < x^3 - 3x^2 + 2x$$

$$0 < x(x^2 - 3x + 2)$$

$$0 < x(x-1)(x-2)$$

次に、$f(x) = x(x-1)(x-2)$ とおき、$f(x) > 0$ となる $x$ の範囲を求めます。

$f(x)$ の符号が変わる点は、$x = 0, 1, 2$ です。

したがって、数直線を $x < 0$, $0 < x < 1$, $1 < x < 2$, $x > 2$ の範囲に分割して考えます。

* $x < 0$ のとき、$x < 0$, $x-1 < 0$, $x-2 < 0$ なので、$x(x-1)(x-2) < 0$

* $0 < x < 1$ のとき、$x > 0$, $x-1 < 0$, $x-2 < 0$ なので、$x(x-1)(x-2) > 0$

* $1 < x < 2$ のとき、$x > 0$, $x-1 > 0$, $x-2 < 0$ なので、$x(x-1)(x-2) < 0$

* $x > 2$ のとき、$x > 0$, $x-1 > 0$, $x-2 > 0$ なので、$x(x-1)(x-2) > 0$

したがって、$f(x) > 0$ となるのは、$0 < x < 1$ または $x > 2$ のときです。

3. 最終的な答え

$0 < x < 1$ または $x > 2$