問題は、与えられた式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。具体的には、 (1) $(x+3)^7$ の展開式における $x^4$ の項の係数 (4) $(2x-3)^5$ の展開式における $x^3$ の項の係数 (6) $(2x-3y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求めます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。具体的には、

(1) $(x+3)^7$ の展開式における $x^4$ の項の係数

(4) $(2x-3)^5$ の展開式における $x^3$ の項の係数

(6) $(2x-3y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。二項定理は、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

と表されます。ここで $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数です。

(1) $(x+3)^7$ の展開式における $x^4$ の項の係数：

二項定理より、$(x+3)^7$ の展開式の一般項は $\binom{7}{k}x^{7-k}3^k$ です。

$x^4$ の項を得るには、$7-k=4$ である必要があります。したがって、$k=3$ です。

このとき、$x^4$ の項は $\binom{7}{3}x^4 3^3 = \frac{7!}{3!4!} x^4 \cdot 27 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 27 x^4 = 35 \cdot 27 x^4 = 945 x^4$ となります。

よって、$x^4$ の係数は945です。

(4) $(2x-3)^5$ の展開式における $x^3$ の項の係数：

二項定理より、$(2x-3)^5$ の展開式の一般項は $\binom{5}{k}(2x)^{5-k}(-3)^k$ です。

$x^3$ の項を得るには、$5-k=3$ である必要があります。したがって、$k=2$ です。

このとき、$x^3$ の項は $\binom{5}{2}(2x)^3 (-3)^2 = \frac{5!}{2!3!} (8x^3) (9) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 8 \cdot 9 x^3 = 10 \cdot 8 \cdot 9 x^3 = 720 x^3$ となります。

よって、$x^3$ の係数は720です。

(6) $(2x-3y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数：

二項定理より、$(2x-3y)^6$ の展開式の一般項は $\binom{6}{k}(2x)^{6-k}(-3y)^k$ です。

$x^3y^3$ の項を得るには、$6-k=3$ かつ $k=3$ である必要があります。したがって、$k=3$ です。

このとき、$x^3y^3$ の項は $\binom{6}{3}(2x)^3 (-3y)^3 = \frac{6!}{3!3!} (8x^3) (-27y^3) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8 \cdot (-27) x^3y^3 = 20 \cdot 8 \cdot (-27) x^3y^3 = -4320 x^3y^3$ となります。

よって、$x^3y^3$ の係数は -4320 です。

3. 最終的な答え

(1) 945

(4) 720

(6) -4320