与えられた行列の逆行列を基本変形を用いて求める。ここでは、(1) の行列 $ \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} $ の逆行列を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を基本変形を用いて求める。ここでは、(1) の行列 $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める。

2. 解き方の手順

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めるには、単位行列 $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ を右側に並べた拡大行列 $(A|I) = \begin{pmatrix} 1 & 5 &|& 1 & 0 \\ -2 & 4 &|& 0 & 1 \end{pmatrix}$ を作り、基本変形を行って左側を行列 $I$ に変形する。変形後の右側が $A^{-1}$ となる。

ステップ1: 2行目に1行目の2倍を加える。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 &|& 1 & 0 \\ -2+2(1) & 4+2(5) &|& 0+2(1) & 1+2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 &|& 1 & 0 \\ 0 & 14 &|& 2 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ2: 2行目を14で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 &|& 1 & 0 \\ 0 & 1 &|& \frac{2}{14} & \frac{1}{14} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 &|& 1 & 0 \\ 0 & 1 &|& \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

ステップ3: 1行目から2行目の5倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1-5(0) & 5-5(1) &|& 1-5(\frac{1}{7}) & 0-5(\frac{1}{14}) \\ 0 & 1 &|& \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 &|& 1-\frac{5}{7} & -\frac{5}{14} \\ 0 & 1 &|& \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 &|& \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ 0 & 1 &|& \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$