与えられた不等式 $x^2 - x - 20 > 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $x^2 - x - 20 > 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、左辺の二次式を因数分解します。

$x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4)$

したがって、不等式は

$(x - 5)(x + 4) > 0$

となります。

次に、$(x - 5)(x + 4) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x - 5 = 0$ より $x = 5$

$x + 4 = 0$ より $x = -4$

よって、$x = -4$ と $x = 5$ が不等式の境界値となります。

数直線を使い、$x$ の範囲を3つに分けます。

(1) $x < -4$ の場合

(2) $-4 < x < 5$ の場合

(3) $x > 5$ の場合

(1) $x < -4$ の場合、$x - 5 < 0$ かつ $x + 4 < 0$ なので、 $(x - 5)(x + 4) > 0$ となります。

(2) $-4 < x < 5$ の場合、$x - 5 < 0$ かつ $x + 4 > 0$ なので、 $(x - 5)(x + 4) < 0$ となります。

(3) $x > 5$ の場合、$x - 5 > 0$ かつ $x + 4 > 0$ なので、 $(x - 5)(x + 4) > 0$ となります。

したがって、$x^2 - x - 20 > 0$ となるのは、$x < -4$ または $x > 5$ のときです。

3. 最終的な答え

$x < -4$ または $x > 5$