2次不等式に関する問題です。以下の3つの問題があります。 (1) $x^2 + ax + b > 0$ の解が $x < -1, 2 < x$ であるとき、$a, b$ の値を求める。 (2) $x^2 + ax + b < 0$ の解が $-3 < x < 5$ であるとき、$a, b$ の値を求める。 (3) $ax^2 - 2x + b > 0$ の解が $-2 < x < 1$ であるとき、$a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次不等式に関する問題です。以下の3つの問題があります。

(1) $x^2 + ax + b > 0$ の解が $x < -1, 2 < x$ であるとき、$a, b$ の値を求める。

(2) $x^2 + ax + b < 0$ の解が $-3 < x < 5$ であるとき、$a, b$ の値を求める。

(3) $ax^2 - 2x + b > 0$ の解が $-2 < x < 1$ であるとき、$a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + ax + b > 0$ の解が $x < -1, 2 < x$ であることから、$x^2 + ax + b = 0$ の解は $x = -1, 2$ である。

よって、$x^2 + ax + b = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2$

したがって、$a = -1, b = -2$。

(2)

$x^2 + ax + b < 0$ の解が $-3 < x < 5$ であることから、$x^2 + ax + b = 0$ の解は $x = -3, 5$ である。

よって、$x^2 + ax + b = (x + 3)(x - 5) = x^2 - 2x - 15$

したがって、$a = -2, b = -15$。

(3)

$ax^2 - 2x + b > 0$ の解が $-2 < x < 1$ であることから、$a < 0$ であり、$ax^2 - 2x + b = 0$ の解は $x = -2, 1$ である。

$ax^2 - 2x + b = a(x + 2)(x - 1) = a(x^2 + x - 2) = ax^2 + ax - 2a$

$-2 = a$ より、$a = -2$。

$b = -2a = -2(-2) = 4$。

したがって、$a = -2, b = 4$。

3. 最終的な答え

(1) $a = -1, b = -2$

(2) $a = -2, b = -15$

(3) $a = -2, b = 4$