与えられた4つの行列のランクを求めます。行列のランクとは、その行列の線形独立な行（または列）の最大数です。

はい、承知いたしました。次の行列のランクを求めます。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列のランクを求めます。行列のランクとは、その行列の線形独立な行（または列）の最大数です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ のランクを求める。

まず、行列式を計算します。

$2(1\cdot1 - 2\cdot0) - 1(0\cdot1 - 2\cdot1) + 2(0\cdot0 - 1\cdot1) = 2(1) - 1(-2) + 2(-1) = 2 + 2 - 2 = 2$

行列式が0でないので、ランクは3です。

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}$ のランクを求める。

行基本変形を使って簡約化します。

まず1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 2 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。

4行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & -1 & -5 & 4 \\ 0 & -3 & -15 & 12 \end{pmatrix}$

3行目に2行目を足します。

4行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1行目に2行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 8 & -6 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

ランクは2です。

(3) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 9 \\ 2 & 6 & 2 \end{pmatrix}$ のランクを求める。

行基本変形を使って簡約化します。

2行目から1行目を引きます。

3行目から1行目を引きます。

4行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}$

3行目に2行目を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}$

4行目を3/2倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -6 \end{pmatrix}$

4行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

ランクは2です。

(4) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ のランクを求める。

行基本変形を使って簡約化します。

2行目から1行目の4倍を引きます。

3行目から1行目の7倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

ランクは2です。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 2

(3) 2

(4) 2