与えられた行列の逆行列を基本変形を用いて求める問題です。問題は二つあります。 (1) $ \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} $ (2) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を基本変形を用いて求める問題です。問題は二つあります。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

与えられた行列を$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$とします。

基本変形を用いて$A$の逆行列を求めるために、$A$と単位行列$I$を並べた拡大行列$(A|I)$を作ります。

$(A|I) = \begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ -2 & 4 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第一行を2倍して第二行に加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 14 & | & 2 & 1 \end{pmatrix}$

第二行を1/14倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

第二行を-5倍して第一行に加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

したがって、$A$の逆行列は

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix} = \frac{1}{14}\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

(2)

与えられた行列を$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$とします。

基本変形を用いて$A$の逆行列を求めるために、$A$と単位行列$I$を並べた拡大行列$(A|I)$を作ります。

$(A|I) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 7 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第一行を-1倍して第二行に加えます。第一行を-2倍して第三行に加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第三行を-1倍して第二行に加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

第二行を-2倍して第一行に加えます。第三行を-3倍して第一行に加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 6 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、$A$の逆行列は

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{14}\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 6 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$