行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ による変換で、直線 $L: x + 3y = 0$ がどのような直線に移されるかを求める問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ による変換で、直線 $L: x + 3y = 0$ がどのような直線に移されるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、変換前の点を $(x, y)$、変換後の点を $(x', y')$ とします。

行列 $A$ による変換は、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

と表せます。これから、$x'$ と $y'$ を $x$ と $y$ で表すことができます。

$x' = 2x$

$y' = 3x - 4y$

次に、$x$ と $y$ を $x'$ と $y'$ で表します。

$x = \frac{1}{2}x'$

$y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}y' = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}x' - \frac{1}{4}y' = \frac{3}{8}x' - \frac{1}{4}y'$

変換前の直線 $L$ の方程式は $x + 3y = 0$ です。この式に、$x = \frac{1}{2}x'$ と $y = \frac{3}{8}x' - \frac{1}{4}y'$ を代入します。

$\frac{1}{2}x' + 3(\frac{3}{8}x' - \frac{1}{4}y') = 0$

$\frac{1}{2}x' + \frac{9}{8}x' - \frac{3}{4}y' = 0$

両辺に 8 を掛けて整理します。

$4x' + 9x' - 6y' = 0$

$13x' - 6y' = 0$

したがって、変換後の直線の方程式は $13x' - 6y' = 0$ です。つまり、$13x - 6y = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$13x - 6y = 0$