$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。 $\cos{2x} - \sqrt{3}\sin{x} + 2 = 0$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。

$\cos{2x} - \sqrt{3}\sin{x} + 2 = 0$

2. 解き方の手順

まず、$\cos{2x}$ を $\sin{x}$ の式で表します。$\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}$ なので、与えられた方程式は次のようになります。

$1 - 2\sin^2{x} - \sqrt{3}\sin{x} + 2 = 0$

これを整理すると、

$-2\sin^2{x} - \sqrt{3}\sin{x} + 3 = 0$

両辺に -1 をかけて

$2\sin^2{x} + \sqrt{3}\sin{x} - 3 = 0$

ここで、$t = \sin{x}$ とおくと、

$2t^2 + \sqrt{3}t - 3 = 0$

この2次方程式を解きます。解の公式を用いると、

$t = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 24}}{4} = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{4} = \frac{-\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4}$

したがって、$t = \frac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ または $t = \frac{-\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-4\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}$

$t = \sin{x}$ なので、$\sin{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ または $\sin{x} = -\sqrt{3}$ となります。

ただし、$-1 \le \sin{x} \le 1$ であるから、$\sin{x} = -\sqrt{3}$ は解なし。

$\sin{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ は、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$