2次関数 $y = x^2 - 2ax + 3$ の $0 \le x \le 4$ における最大値、最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。場合分けは以下の通りです。 (1) $a \le 0$ のとき (2) $0 < a < 2$ のとき (3) $a = 2$ のとき (4) $2 < a < 4$ のとき (5) $4 \le a$ のとき

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + 3$ の $0 \le x \le 4$ における最大値、最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。場合分けは以下の通りです。

(1) $a \le 0$ のとき

(2) $0 < a < 2$ のとき

(3) $a = 2$ のとき

(4) $2 < a < 4$ のとき

(5) $4 \le a$ のとき

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + 3 = (x - a)^2 - a^2 + 3$

軸は $x = a$ で、頂点の座標は $(a, -a^2 + 3)$ です。

次に、各場合について、定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求めます。

(1) $a \le 0$ のとき：

軸は定義域の左側にあります。

最小値：$x = 0$ で $y = 3$

最大値：$x = 4$ で $y = 16 - 8a + 3 = 19 - 8a$

(2) $0 < a < 2$ のとき：

軸は $0 < a < 2$ の範囲にあります。

最小値：$x = a$ で $y = -a^2 + 3$

最大値：$x = 4$ で $y = 19 - 8a$

(3) $a = 2$ のとき：

軸は $x = 2$ です。

最小値：$x = 2$ で $y = -2^2 + 3 = -1$

最大値：$x = 0$ または $x = 4$ で $y = 3$

(4) $2 < a < 4$ のとき：

軸は $2 < a < 4$ の範囲にあります。

最小値：$x = a$ で $y = -a^2 + 3$

最大値：$x = 0$ で $y = 3$

(5) $4 \le a$ のとき：

軸は定義域の右側にあります。

最小値：$x = 4$ で $y = 19 - 8a$

最大値：$x = 0$ で $y = 3$

3. 最終的な答え

(1) $a \le 0$ のとき

最小値: 3

最大値: $19 - 8a$

(2) $0 < a < 2$ のとき

最小値: $-a^2 + 3$

最大値: $19 - 8a$

(3) $a = 2$ のとき

最小値: -1

最大値: 3

(4) $2 < a < 4$ のとき

最小値: $-a^2 + 3$

最大値: 3

(5) $4 \le a$ のとき

最小値: $19 - 8a$

最大値: 3