$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ のとき、次の等式を証明する。 $$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{xy + yz + zx}{ab + bc + ca}$$

1. 問題の内容

$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ のとき、次の等式を証明する。

$$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{xy + yz + zx}{ab + bc + ca}$$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k$ とおく。

これにより、$x = ak$, $y = bk$, $z = ck$ と表せる。

次に、左辺を計算する。

$$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{(ak)^2 + (bk)^2 + (ck)^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{a^2k^2 + b^2k^2 + c^2k^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{k^2(a^2 + b^2 + c^2)}{a^2 + b^2 + c^2} = k^2$$

次に、右辺を計算する。

$$\frac{xy + yz + zx}{ab + bc + ca} = \frac{(ak)(bk) + (bk)(ck) + (ck)(ak)}{ab + bc + ca} = \frac{abk^2 + bck^2 + cak^2}{ab + bc + ca} = \frac{k^2(ab + bc + ca)}{ab + bc + ca} = k^2$$

左辺と右辺がともに $k^2$ となるため、等式が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{xy + yz + zx}{ab + bc + ca}$ は成り立つ。