$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $4(a^3 + b^3) \ge (a+b)^3$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $4(a^3 + b^3) \ge (a+b)^3$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の左辺から右辺を引いたものを計算します。

$4(a^3 + b^3) - (a+b)^3 = 4a^3 + 4b^3 - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)$

$= 4a^3 + 4b^3 - a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3$

$= 3a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + 3b^3$

$= 3(a^3 - a^2b - ab^2 + b^3)$

$= 3[a^2(a-b) - b^2(a-b)]$

$= 3(a^2 - b^2)(a-b)$

$= 3(a+b)(a-b)(a-b)$

$= 3(a+b)(a-b)^2$

ここで、$a > 0$, $b > 0$ より $a+b > 0$ であり、$(a-b)^2 \ge 0$ です。

したがって、$3(a+b)(a-b)^2 \ge 0$ となります。

つまり、$4(a^3 + b^3) - (a+b)^3 \ge 0$ が示されたので、$4(a^3 + b^3) \ge (a+b)^3$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$(a-b)^2 = 0$ のとき、つまり $a-b = 0$ のときなので、$a=b$ のときです。

3. 最終的な答え

$4(a^3 + b^3) \ge (a+b)^3$ が成り立つ。

等号が成り立つのは $a=b$ のとき。