与えられた6つの行列の行列式を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの行列の行列式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

行列式は、行列の要素を用いた特定の計算によって求められます。

- 2x2行列 $

\begin{pmatrix}

a & b \\

c & d

\end{pmatrix}

$の行列式は、$ad - bc$ で計算されます。

- 3x3行列 $

\begin{pmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{pmatrix}

$の行列式は、$a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$ で計算されます。

- 4x4以上の行列の場合、余因子展開や行基本変形を用いて計算量を減らすことができます。ただし、ここでは計算量を考慮して、可能な限り直接計算します。

(1) の行列式:

$$

\begin{vmatrix}

1 & 5 \\

-2 & 4

\end{vmatrix} = (1)(4) - (5)(-2) = 4 + 10 = 14

$$

(2) の行列式:

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

1 & 3 & 4 \\

2 & 4 & 7

\end{vmatrix} = 1(3*7 - 4*4) - 2(1*7 - 4*2) + 3(1*4 - 3*2) = 1(21 - 16) - 2(7 - 8) + 3(4 - 6) = 1(5) - 2(-1) + 3(-2) = 5 + 2 - 6 = 1

$$

(3) の行列式:

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{vmatrix} = 1(5*9 - 6*8) - 2(4*9 - 6*7) + 3(4*8 - 5*7) = 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0

$$

(4) の行列式:

$$

\begin{vmatrix}

1 & -2 & 0 \\

-1 & 3 & 2 \\

1 & -1 & 4

\end{vmatrix} = 1(3*4 - 2*(-1)) - (-2)(-1*4 - 2*1) + 0((-1)*(-1) - 3*1) = 1(12 + 2) + 2(-4 - 2) + 0(1 - 3) = 1(14) + 2(-6) = 14 - 12 = 2

$$

(5) の行列式:

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

3 & 2 & 0 & 1 \\

-2 & 1 & 3 & -6 \\

2 & 2 & 0 & 1

\end{vmatrix}

$$

3行目で展開します。

$(-2) * (-1)^{3+1} * \begin{vmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 * (-1)^{3+2} * \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} + 3 * (-1)^{3+3} * \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} + (-6) * (-1)^{3+4} * \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

1つ目の3x3行列は2行目と3行目が同じなので、行列式は0です。

2つ目の3x3行列:

$-1 * (1*1 - 2*1 - (-1)(3*1 - 2*1) + 2(0-0)) = -1 *(1 - 2 + 3 - 2) = 0$

3つ目の3x3行列:

$3(1*(2*1-1*2) - 0*(3*1 - 1*2) + 2*(3*2 - 2*2)) = 3(0 - 0 + 2) * (6-4)) = 3 * 2 * 2 = 12$

4つ目の3x3行列:

$6(1*(2*0 - 0*2) - 0*(3*0 - 0*2) + (-1)(3*2 - 2*2) = 6(-1*(6-4) = 6(-2) = -12$

したがって、行列式は $0+0+12+ -(-12) = 24$

(6) の行列式:

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & 3 & 1 \\

1 & 0 & 1 & 0 \\

4 & 3 & 6 & 2 \\

1 & 1 & 2 & 1

\end{vmatrix}

$$

2行目で展開します。

$-1*\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 1*\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

$$

1つ目の3x3行列: $1(6-4)-3(3-2)+1(6-6) = 2-3 = -1$

2つ目の3x3行列: $2(3-2) -1(4-2) +1(4-3) = 2 - 2 + 1 = 1$

よって、全体の行列式は $-(-1) - 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 14

(2) 1

(3) 0

(4) 2

(5) 24

(6) 0