問題は、関数 $y = x^2$ 上の2点A, B ($x$座標はそれぞれ-2, 3) を用いて、直線ABとy軸との交点をC、傾き2で点Bを通る直線とy軸との交点をDとする。このとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 点Dの座標を求める。 (2) 直線ABの式を求める。 (3) △ADBの面積を求める。 (4) △BCDの面積と△BCPの面積が等しくなるようなx軸上の点Pのx座標を求める。 (5) △AQBの周の長さが最小となるようなx軸上の点Qのx座標を求める。

1. 問題の内容

問題は、関数 $y = x^2$ 上の2点A, B ($x$座標はそれぞれ-2, 3) を用いて、直線ABとy軸との交点をC、傾き2で点Bを通る直線とy軸との交点をDとする。このとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 点Dの座標を求める。

(2) 直線ABの式を求める。

(3) △ADBの面積を求める。

(4) △BCDの面積と△BCPの面積が等しくなるようなx軸上の点Pのx座標を求める。

(5) △AQBの周の長さが最小となるようなx軸上の点Qのx座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Dの座標を求める。

点Bの座標は $(3, 3^2) = (3, 9)$ である。傾き2で点Bを通る直線の式は、

$y - 9 = 2(x - 3)$

$y = 2x - 6 + 9$

$y = 2x + 3$

点Dはy軸との交点なので、$x = 0$ を代入すると $y = 3$。よって、点Dの座標は $(0, 3)$。

(2) 直線ABの式を求める。

点Aの座標は $(-2, (-2)^2) = (-2, 4)$。点Bの座標は $(3, 9)$。

直線ABの傾きは、$\frac{9-4}{3-(-2)} = \frac{5}{5} = 1$。

直線ABの式は、$y - 4 = 1(x - (-2))$ より、

$y = x + 2 + 4$

$y = x + 6$

(3) △ADBの面積を求める。

点Aの座標は $(-2, 4)$、点Bの座標は $(3, 9)$、点Dの座標は $(0, 3)$。

直線ABの式は $y = x + 6$。

△ADBの面積は、線分ADを底辺とすると、ADの長さは $\sqrt{(-2-0)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$。

点Bから直線ADまでの距離は、直接計算するのは難しい。

△ADBの面積を求める別の方法を考える。点A, D, Bの座標をそれぞれ $A(-2, 4)$, $D(0, 3)$, $B(3, 9)$とする。△ADBの面積は、

$S = \frac{1}{2} |(-2)(3-9) + 0(9-4) + 3(4-3)| = \frac{1}{2} |12 + 0 + 3| = \frac{15}{2}$。

(4) △BCDの面積と△BCPの面積が等しくなるようなx軸上の点Pのx座標を求める。

点Bの座標は $(3, 9)$、点Cの座標は $(0, 6)$、点Dの座標は $(0, 3)$。

△BCDの面積は、底辺CDの長さを3として、高さは点Bのx座標である3なので、$\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$。

点Pの座標を $(p, 0)$ とする。△BCPの面積は、

$\frac{1}{2} |3(6-0) + 0(0-9) + p(9-6)| = \frac{1}{2} |18 + 3p| = \frac{9}{2}$

$|18 + 3p| = 9$

$18 + 3p = 9$ または $18 + 3p = -9$

$3p = -9$ または $3p = -27$

$p = -3$ または $p = -9$

したがって、点Pのx座標は $-3$ と $-9$。

(5) △AQBの周の長さが最小となるようなx軸上の点Qのx座標を求める。

点Aの座標は $(-2, 4)$、点Bの座標は $(3, 9)$。

点Aのx軸に関する対称点をA'とすると、A'の座標は $(-2, -4)$。

線分A'Bとx軸の交点が点Qの位置となる。直線A'Bの式は、

$\frac{y - (-4)}{x - (-2)} = \frac{9 - (-4)}{3 - (-2)}$

$\frac{y + 4}{x + 2} = \frac{13}{5}$

$5(y + 4) = 13(x + 2)$

$5y + 20 = 13x + 26$

$5y = 13x + 6$

点Qはx軸上にあるので、$y = 0$ を代入すると、

$0 = 13x + 6$

$x = -\frac{6}{13}$

したがって、点Qのx座標は $-\frac{6}{13}$。

3. 最終的な答え

(1) 点Dの座標: $(0, 3)$

(2) 直線ABの式: $y = x + 6$

(3) △ADBの面積: $\frac{15}{2}$

(4) 点Pのx座標: $-3, -9$

(5) 点Qのx座標: $-\frac{6}{13}$