問題5は以下の3つの小問から構成されています。 (1) 2次関数 $y = x^2 - 6x - 2$ のグラフと $x$ 軸の共有点の座標を求めよ。 (2) 放物線 $y = x^2 + 5x + 2$ と直線 $y = 2x + 6$ の共有点の座標を求めよ。 (3) 放物線 $y = 2x^2 - 3x$ と直線 $y = 5x + k$ が共有点をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文のOCR結果に基づき、問題5の(1),(2),(3)を解きます。

1. 問題の内容

問題5は以下の3つの小問から構成されています。

(1) 2次関数 $y = x^2 - 6x - 2$ のグラフと $x$ 軸の共有点の座標を求めよ。

(2) 放物線 $y = x^2 + 5x + 2$ と直線 $y = 2x + 6$ の共有点の座標を求めよ。

(3) 放物線 $y = 2x^2 - 3x$ と直線 $y = 5x + k$ が共有点をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = x^2 - 6x - 2$ のグラフと $x$ 軸の共有点の座標を求める。

$x$ 軸との共有点は、$y = 0$ となる $x$ の値を求めることで得られます。したがって、

$x^2 - 6x - 2 = 0$

を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11}$

したがって、$x = 3 + \sqrt{11}$ または $x = 3 - \sqrt{11}$

(2) 放物線 $y = x^2 + 5x + 2$ と直線 $y = 2x + 6$ の共有点の座標を求める。

共有点は、$x^2 + 5x + 2 = 2x + 6$ を満たす $x$ の値を求めることで得られます。したがって、

$x^2 + 3x - 4 = 0$

$(x + 4)(x - 1) = 0$

$x = -4$ または $x = 1$

$x = -4$ のとき、$y = 2(-4) + 6 = -2$

$x = 1$ のとき、$y = 2(1) + 6 = 8$

したがって、共有点の座標は $(-4, -2)$ と $(1, 8)$

(3) 放物線 $y = 2x^2 - 3x$ と直線 $y = 5x + k$ が共有点をもつような定数 $k$ の値の範囲を求める。

共有点をもつ条件は、$2x^2 - 3x = 5x + k$ が実数解を持つことです。したがって、

$2x^2 - 8x - k = 0$

この2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D \ge 0$ です。

$D = (-8)^2 - 4(2)(-k) = 64 + 8k$

$64 + 8k \ge 0$

$8k \ge -64$

$k \ge -8$

3. 最終的な答え

(1) $(3 + \sqrt{11}, 0)$, $(3 - \sqrt{11}, 0)$

(2) $(-4, -2)$, $(1, 8)$

(3) $k \ge -8$