与えられた条件を満たす放物線の方程式を求める問題です。放物線の軸はy軸に平行であるとします。 (1) 頂点の座標が $(2, 4)$ で、点 $(0, 1)$ を通る放物線の方程式を求めます。 (2) 直線 $x=1$ を軸とし、2点 $(0, -1)$、$(3, -10)$ を通る放物線の方程式を求めます。 (3) 3点 $(0, 4)$、$(3, 1)$、$(4, -4)$ を通る放物線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす放物線の方程式を求める問題です。放物線の軸はy軸に平行であるとします。

(1) 頂点の座標が $(2, 4)$ で、点 $(0, 1)$ を通る放物線の方程式を求めます。

(2) 直線 $x=1$ を軸とし、2点 $(0, -1)$、$(3, -10)$ を通る放物線の方程式を求めます。

(3) 3点 $(0, 4)$、$(3, 1)$、$(4, -4)$ を通る放物線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

頂点の座標が $(2, 4)$ であることから、放物線の方程式は

$y = a(x - 2)^2 + 4$

と表すことができます。この放物線が点 $(0, 1)$ を通るので、$x=0$、$y=1$ を代入します。

$1 = a(0 - 2)^2 + 4$

$1 = 4a + 4$

$4a = -3$

$a = -\frac{3}{4}$

よって、放物線の方程式は

$y = -\frac{3}{4}(x - 2)^2 + 4$

$y = -\frac{3}{4}(x^2 - 4x + 4) + 4$

$y = -\frac{3}{4}x^2 + 3x - 3 + 4$

$y = -\frac{3}{4}x^2 + 3x + 1$

(2)

軸が $x=1$ であることから、放物線の方程式は

$y = a(x - 1)^2 + b$

と表すことができます。この放物線が2点 $(0, -1)$、$(3, -10)$ を通るので、それぞれ代入します。

$-1 = a(0 - 1)^2 + b$

$-1 = a + b$

$-10 = a(3 - 1)^2 + b$

$-10 = 4a + b$

連立方程式を解きます。

$a + b = -1$

$4a + b = -10$

2番目の式から1番目の式を引くと

$3a = -9$

$a = -3$

$b = -1 - a = -1 - (-3) = 2$

よって、放物線の方程式は

$y = -3(x - 1)^2 + 2$

$y = -3(x^2 - 2x + 1) + 2$

$y = -3x^2 + 6x - 3 + 2$

$y = -3x^2 + 6x - 1$

(3)

放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ とします。

この放物線が3点 $(0, 4)$、$(3, 1)$、$(4, -4)$ を通るので、それぞれ代入します。

$4 = a(0)^2 + b(0) + c$

$c = 4$

$1 = a(3)^2 + b(3) + c$

$1 = 9a + 3b + 4$

$9a + 3b = -3$

$3a + b = -1$

$-4 = a(4)^2 + b(4) + c$

$-4 = 16a + 4b + 4$

$16a + 4b = -8$

$4a + b = -2$

連立方程式を解きます。

$3a + b = -1$

$4a + b = -2$

2番目の式から1番目の式を引くと

$a = -1$

$b = -1 - 3a = -1 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$

よって、放物線の方程式は

$y = -x^2 + 2x + 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{3}{4}x^2 + 3x + 1$

(2) $y = -3x^2 + 6x - 1$

(3) $y = -x^2 + 2x + 4$