(1) 関数 $y = x^2 - 4x$ ($0 < x \leq 5$) の最大値と最小値を求める。 (2) 関数 $y = -3x^2 - 4x + 2$ ($-1 \leq x < 0$) の値域を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^2 - 4x$ ($0 < x \leq 5$) の最大値と最小値を求める。

(2) 関数 $y = -3x^2 - 4x + 2$ ($-1 \leq x < 0$) の値域を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 4x$ について、平方完成を行う。

$y = (x - 2)^2 - 4$

軸は $x = 2$ であり、下に凸のグラフである。

定義域は $0 < x \leq 5$ である。

$x = 2$ のとき、最小値は $-4$ となる。

$x = 5$ のとき、$y = (5 - 2)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$

$x = 0$ のとき、$y = (0 - 2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

$0 < x \leq 5$より、$x=0$を含まないため、最大値は存在しない。ただし、$x$を限りなく$0$に近づけたときの$y$の値に限りなく近い値は$0$である。

しかし、問題文に最大値があれば、それを求めよ。とあるので、$x=5$のときの$y$の値$5$を最大値とする。

(2) $y = -3x^2 - 4x + 2$ について、平方完成を行う。

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 2$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2) + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + 3(\frac{4}{9}) + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{10}{3}$

軸は $x = -\frac{2}{3}$ であり、上に凸のグラフである。

定義域は $-1 \leq x < 0$ である。

$x = -\frac{2}{3}$ のとき、最大値は $\frac{10}{3}$ となる。

$x = -1$ のとき、$y = -3(-1)^2 - 4(-1) + 2 = -3 + 4 + 2 = 3$

$x = 0$ のとき、$y = -3(0)^2 - 4(0) + 2 = 2$

$-1 \leq x < 0$より、$x=0$を含まないため、$y$は$2$を取らない。

したがって、$3 \leq y \leq \frac{10}{3}$ は正しい答えではない。

値域は $3 \leq y < \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 最大値：5、最小値：-4

(2) $3 \leq y < \frac{10}{3}$