問題1: 2次関数 $f(x) = -2x^2 - 10x - 3$ について、 (1) グラフを描き、軸と頂点を求める。 (2) $f(\frac{a-5}{2}) = 5$ となる定数 $a$ の値を求める。 問題2: 放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を、以下の移動をした場合の放物線の方程式を求める。 (1) $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $4$ だけ平行移動 (2) $x$ 軸に関して対称移動 (3) $y$ 軸に関して対称移動 (4) 原点に関して対称移動

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題1: 2次関数 $f(x) = -2x^2 - 10x - 3$ について、

(1) グラフを描き、軸と頂点を求める。

(2) $f(\frac{a-5}{2}) = 5$ となる定数 $a$ の値を求める。

問題2: 放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を、以下の移動をした場合の放物線の方程式を求める。

(1) $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $4$ だけ平行移動

(2) $x$ 軸に関して対称移動

(3) $y$ 軸に関して対称移動

(4) 原点に関して対称移動

2. 解き方の手順

問題1:

(1) 2次関数 $f(x) = -2x^2 - 10x - 3$ を平方完成する。

$f(x) = -2(x^2 + 5x) - 3$

$f(x) = -2(x^2 + 5x + (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2) - 3$

$f(x) = -2(x + \frac{5}{2})^2 + 2(\frac{25}{4}) - 3$

$f(x) = -2(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{2} - \frac{6}{2}$

$f(x) = -2(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{19}{2}$

よって、軸は $x = -\frac{5}{2}$, 頂点は $(-\frac{5}{2}, \frac{19}{2})$ となる。グラフは上に凸な放物線になる。

(2) $f(\frac{a-5}{2}) = 5$ を解く。

$-2(\frac{a-5}{2} + \frac{5}{2})^2 + \frac{19}{2} = 5$

$-2(\frac{a}{2})^2 = 5 - \frac{19}{2}$

$-\frac{2a^2}{4} = \frac{10}{2} - \frac{19}{2}$

$-\frac{a^2}{2} = -\frac{9}{2}$

$a^2 = 9$

$a = \pm 3$

問題2:

(1) $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $4$ だけ平行移動：

$y - 4 = -2(x + 3)^2 + 3(x + 3) + 1$

$y = -2(x^2 + 6x + 9) + 3x + 9 + 1 + 4$

$y = -2x^2 - 12x - 18 + 3x + 14$

$y = -2x^2 - 9x - 4$

(2) $x$ 軸に関して対称移動：

$y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = -2x^2 + 3x + 1$

$y = 2x^2 - 3x - 1$

(3) $y$ 軸に関して対称移動：

$x$ を $-x$ に置き換える。

$y = -2(-x)^2 + 3(-x) + 1$

$y = -2x^2 - 3x + 1$

(4) 原点に関して対称移動：

$x$ を $-x$, $y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = -2(-x)^2 + 3(-x) + 1$

$-y = -2x^2 - 3x + 1$

$y = 2x^2 + 3x - 1$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) 軸：$x = -\frac{5}{2}$, 頂点：$(-\frac{5}{2}, \frac{19}{2})$

(2) $a = 3, -3$

問題2:

(1) $y = -2x^2 - 9x - 4$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 1$

(3) $y = -2x^2 - 3x + 1$

(4) $y = 2x^2 + 3x - 1$