与えられた2つの連立方程式を解く問題です。 (1) は $x$, $y$, $z$ の3変数に関する連立一次方程式です。 (2) は $x$, $y$ の2変数に関する連立一次方程式です。

1. 問題の内容

与えられた2つの連立方程式を解く問題です。

(1) は $x$, $y$, $z$ の3変数に関する連立一次方程式です。

(2) は $x$, $y$ の2変数に関する連立一次方程式です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた連立方程式を以下のように番号付けします。

\begin{align}

3x + 2y - 4z &= 7 \quad &(1)\\

x + 2y &= 5 \quad &(2)\\

2x + y - 5z &= 8 \quad &(3)

\end{align}

式(1)から式(2)を引くと

$3x + 2y - 4z - (x + 2y) = 7 - 5$

$2x - 4z = 2$

$x - 2z = 1$

$x = 2z + 1$

式(3)に代入すると

$2(2z+1) + y - 5z = 8$

$4z + 2 + y - 5z = 8$

$-z + y = 6$

$y = z + 6$

式(2)に代入すると

$x + 2y = 5$

$(2z+1) + 2(z+6) = 5$

$2z + 1 + 2z + 12 = 5$

$4z + 13 = 5$

$4z = -8$

$z = -2$

$z = -2$ を $x = 2z + 1$ に代入すると

$x = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$

$z = -2$ を $y = z + 6$ に代入すると

$y = -2 + 6 = 4$

したがって、$x = -3$, $y = 4$, $z = -2$

(2)

与えられた連立方程式を以下のように番号付けします。

\begin{align}

2x + y &= 0 \quad &(1)\\

5x - 2y &= 3 \quad &(2)\\

4x - y &= 1 \quad &(3)

\end{align}

式(1)より $y = -2x$ を式(2)に代入すると

$5x - 2(-2x) = 3$

$5x + 4x = 3$

$9x = 3$

$x = \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{3}$ を $y = -2x$ に代入すると

$y = -2 \times \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$

したがって、$x = \frac{1}{3}$, $y = -\frac{2}{3}$

式(3)に代入すると

$4x - y = 4(\frac{1}{3}) - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$

となり、式(3)を満たさない。

したがって、連立方程式の解は $2x+y=0$ と $5x-2y=3$ を満たすが、$4x-y=1$を満たさないため、連立方程式は解なし。

別の解釈としては、$2x+y=0$, $5x-2y=3$、$4x-y=1$の3つの式のうち、任意の2式を解くと$x=1/3, y=-2/3$となるが、3式を同時に満たす解は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $x = -3, y = 4, z = -2$

(2) 解なし