与えられた各対応が写像であるかどうかを判断し、写像である場合は、全単射、全射でない単射、単射でない全射、全射でも単射でもない写像のいずれに該当するかを答えます。ここで、Xは出発側の集合、Yは到着側の集合を表します。 (1) $X = \mathbb{N}, Y = \mathbb{N}$ で $y = 2x - 1$ (2) $X = \mathbb{Z}, Y = \mathbb{N}$ で $y = |x| + 1$ (3) $X = \mathbb{N}, Y = \mathbb{Z}$ で $y = \frac{(2x-1) \times (-1)^{x+1} + 1}{4}$ (4) $X = \mathbb{N}, Y = \mathbb{Z}$ で $x = |y|$ (5) $X = \mathbb{Z}, Y = \mathbb{N}$ で $y = x^2$ (6) $X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{R}$ で $y = \frac{1}{x}$ (7) $X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{R}$ で $x = y^2$ (8) $X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{R}$ で $y = \sqrt{x}$ (9) $X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{Z}$ で $x$ に最も近い整数 $y$ (10) $X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{Z}$ で $x$ を超えない最大の整数 $y$

1. 問題の内容

与えられた各対応が写像であるかどうかを判断し、写像である場合は、全単射、全射でない単射、単射でない全射、全射でも単射でもない写像のいずれに該当するかを答えます。ここで、Xは出発側の集合、Yは到着側の集合を表します。

(1) $X = \mathbb{N}, Y = \mathbb{N}$ で $y = 2x - 1$

(2) $X = \mathbb{Z}, Y = \mathbb{N}$ で $y = |x| + 1$

(3) $X = \mathbb{N}, Y = \mathbb{Z}$ で $y = \frac{(2x-1) \times (-1)^{x+1} + 1}{4}$

(4) $X = \mathbb{N}, Y = \mathbb{Z}$ で $x = |y|$

(5) $X = \mathbb{Z}, Y = \mathbb{N}$ で $y = x^2$

(6) $X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{R}$ で $y = \frac{1}{x}$

(7) $X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{R}$ で $x = y^2$

(8) $X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{R}$ で $y = \sqrt{x}$

(9) $X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{Z}$ で $x$ に最も近い整数 $y$

(10) $X = \mathbb{R}, Y = \mathbb{Z}$ で $x$ を超えない最大の整数 $y$

2. 解き方の手順

各対応について、写像であるかどうか、写像である場合は全単射性、全射性、単射性を調べます。

(1) $y = 2x - 1$ は写像です。

* 単射性: $2x_1 - 1 = 2x_2 - 1$ ならば $x_1 = x_2$ なので単射です。

* 全射性: $y = 2x - 1$ を $x$ について解くと $x = \frac{y+1}{2}$。$y$ が偶数のとき、$x$ は整数にならないので全射ではありません。

したがって、全射でない単射(B)。

(2) $y = |x| + 1$ は写像です。

* $x = 1$ のとき $y = 2$, $x = -1$ のとき $y = 2$ なので単射ではありません。

* $Y = \mathbb{N}$ の任意の要素 $y$ に対して、$x = y - 1$ とすると $|x| + 1 = |y - 1| + 1$。$y \geq 1$ なので、$x = y - 1$とすると$y= |x|+1$となる。もし$y=1$とすると、$|x| = 0$となり、$x=0 \in \mathbb{Z}$。よって全射。

したがって、単射でない全射(C)。

(3) $y = \frac{(2x-1) \times (-1)^{x+1} + 1}{4}$ は写像です。

* $x = 1$ のとき $y = \frac{(2-1) \times (-1)^2 + 1}{4} = \frac{1+1}{4} = \frac{1}{2}$。$Y = \mathbb{Z}$なので$y$は整数でなければならないので、写像ではない。

(4) $x = |y|$ は写像ではありません。

$x = 1$ のとき、$y = 1$ または $y = -1$ となり、$x$ の値に対して $y$ の値が複数存在するので写像ではありません。

(5) $y = x^2$ は写像です。

* $x = 1$ のとき $y = 1$, $x = -1$ のとき $y = 1$ なので単射ではありません。

* $y = x^2$ なので、$y$ は常に非負整数です。しかし、$Y = \mathbb{N}$ の要素である $0$ 以外の全ての自然数について、$x = \sqrt{y}$ は整数になるとは限らないので全射ではありません。

したがって、全射でも単射でもない写像(D)。

(6) $y = \frac{1}{x}$ は写像ではありません。

$x = 0$ のとき、$y$ が定義できないので写像ではありません。

(7) $x = y^2$ は写像ではありません。

$x = 1$ のとき、$y = 1$ または $y = -1$ となり、$x$ の値に対して $y$ の値が複数存在するので写像ではありません。

(8) $y = \sqrt{x}$ は写像です。

* 単射性: $\sqrt{x_1} = \sqrt{x_2}$ ならば $x_1 = x_2$ なので単射です。

* 全射性: $Y = \mathbb{R}$の任意の要素yに対して、$y < 0$ の場合、$x = y^2$ は存在しません。よって、全射ではありません。

したがって、全射でない単射(B)。

(9) $y$ が $x$ に最も近い整数であるとする写像は、写像です。

* $x = 0.6$ に対して $y=1$, $x = 0.4$ に対して $y=0$であるから全射ではない。

* $x = 0.5$に対して、$0.5$に最も近い整数は$0$と$1$の二つ存在する。定義より、最も近い整数は一つしか存在しないので、写像と言えない。

(10) $y = \lfloor x \rfloor$ は写像です。

* $x_1 = 0.5$, $x_2 = 0.9$ のとき、$\lfloor x_1 \rfloor = 0$、$\lfloor x_2 \rfloor = 0$ なので、単射ではありません。

* $Y = \mathbb{Z}$ の任意の整数 $y$ に対して、$x = y$ とすると、$y = \lfloor x \rfloor$ が成り立つので全射です。

したがって、単射でない全射(C)。

3. 最終的な答え

(1) 写像であり、全射でない単射(B)。

(2) 写像であり、単射でない全射(C)。

(3) 写像ではない。

(4) 写像ではない。

(5) 写像であり、全射でも単射でもない写像(D)。

(6) 写像ではない。

(7) 写像ではない。

(8) 写像であり、全射でない単射(B)。

(9) 写像ではない。

(10) 写像であり、単射でない全射(C)。