与えられた不等式 $x^2 - 3x - 10 > 0$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $x^2 - 3x - 10 > 0$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

* まず、2次式 $x^2 - 3x - 10$ を因数分解します。

* 因数分解された式を使って、$x^2 - 3x - 10 = 0$ となる $x$ の値を求めます。

* 求めた $x$ の値をもとに、数直線を使い、不等式 $x^2 - 3x - 10 > 0$ を満たす $x$ の範囲を決定します。

詳細な手順は以下の通りです。

ステップ1: 因数分解

$x^2 - 3x - 10$ を因数分解します。

$x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$

ステップ2: 解の計算

$(x - 5)(x + 2) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x - 5 = 0$ または $x + 2 = 0$

したがって、$x = 5$ または $x = -2$

ステップ3: 不等式の解

$x^2 - 3x - 10 > 0$ は $(x - 5)(x + 2) > 0$ と同値です。

$x = -2$ と $x = 5$ は2次関数のグラフにおける $x$ 切片です。

$x < -2$ のとき、$(x - 5) < 0$ かつ $(x + 2) < 0$ なので、$(x - 5)(x + 2) > 0$ となります。

$-2 < x < 5$ のとき、$(x - 5) < 0$ かつ $(x + 2) > 0$ なので、$(x - 5)(x + 2) < 0$ となります。

$x > 5$ のとき、$(x - 5) > 0$ かつ $(x + 2) > 0$ なので、$(x - 5)(x + 2) > 0$ となります。

したがって、$x^2 - 3x - 10 > 0$ を満たす $x$ の範囲は $x < -2$ または $x > 5$ です。

3. 最終的な答え

$x < -2$ または $x > 5$