$\sqrt{3} = 1.732$ のとき、$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の値を求めます。

## 問題14

1. 問題の内容

$\sqrt{3} = 1.732$ のとき、$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $2 + \sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$

分母を展開します。

$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

したがって、

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1} = 2 + \sqrt{3}$

$\sqrt{3} = 1.732$ を代入します。

$2 + 1.732 = 3.732$

3. 最終的な答え

3. 732

## 問題15(1)

1. 問題の内容

$x = 4 + \sqrt{2}$ 、$y = 4 - \sqrt{2}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$と$y^2$を計算します。

$x^2 = (4 + \sqrt{2})^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 16 + 8\sqrt{2} + 2 = 18 + 8\sqrt{2}$

$y^2 = (4 - \sqrt{2})^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 16 - 8\sqrt{2} + 2 = 18 - 8\sqrt{2}$

次に、$x^2 + y^2$を計算します。

$x^2 + y^2 = (18 + 8\sqrt{2}) + (18 - 8\sqrt{2}) = 18 + 18 + 8\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = 36$

3. 最終的な答え

36

## 問題15(2)

1. 問題の内容

$x = 4 + \sqrt{2}$ 、$y = 4 - \sqrt{2}$ のとき、$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$を整理します。

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x^2}{xy}$

$x^2 + y^2$ はすでに問題15(1)で求めているので、$x^2 + y^2 = 36$ です。

$xy = (4 + \sqrt{2})(4 - \sqrt{2}) = 4^2 - (\sqrt{2})^2 = 16 - 2 = 14$

したがって、

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{36}{14} = \frac{18}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{18}{7}$