問題３：実数 $x, y, z$ が $x+y+z=1$、$x^2+y^2+z^2=1$、$x \le y \le z$ を満たしているとき、$x, y, z$ のとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ。 問題４：$a, b, c$ がすべて1より小さい正の数のとき、3つの不等式 $a(1-b) > \frac{1}{4}$, $b(1-c) > \frac{1}{4}$, $c(1-a) > \frac{1}{4}$ が同時には成り立たないことを示せ。

はい、承知いたしました。問題３と４を解いていきます。

1. 問題の内容

問題３：実数 $x, y, z$ が $x+y+z=1$、$x^2+y^2+z^2=1$、$x \le y \le z$ を満たしているとき、$x, y, z$ のとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ。

問題４：$a, b, c$ がすべて1より小さい正の数のとき、3つの不等式 $a(1-b) > \frac{1}{4}$, $b(1-c) > \frac{1}{4}$, $c(1-a) > \frac{1}{4}$ が同時には成り立たないことを示せ。

2. 解き方の手順

問題３：

まず、$x+y+z = 1$ より、$(x+y+z)^2 = 1$ であるから、

$x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx) = 1$。

$x^2+y^2+z^2=1$ を代入すると、

$1 + 2(xy+yz+zx) = 1$。

よって、$xy+yz+zx = 0$。

ここで、$y+z = 1-x$、$yz = -x(y+z) = -x(1-x)$ であるから、$y, z$ は $t^2 - (1-x)t - x(1-x) = 0$ の解である。

判別式 $D = (1-x)^2 + 4x(1-x) = (1-x)(1-x+4x) = (1-x)(1+3x) \ge 0$ である必要があるので、$-1/3 \le x \le 1$。

また、$y, z = \frac{1-x \pm \sqrt{1+2x-3x^2}}{2}$ となり、$x \le y \le z$ を満たすためには $x \le \frac{1-x-\sqrt{1+2x-3x^2}}{2}$ である必要がある。

$2x \le 1-x - \sqrt{1+2x-3x^2}$

$3x-1 \le -\sqrt{1+2x-3x^2}$

両辺二乗して

$9x^2-6x+1 \le 1+2x-3x^2$

$12x^2-8x \le 0$

$4x(3x-2) \le 0$

$0 \le x \le 2/3$

$3x-1$ の正負を考慮すると、$3x-1 \le 0$, つまり$x \le 1/3$である必要があるので、$0 \le x \le 1/3$。

$x=1/3$のとき、$y=z=1/3$となる。

$x=0$のとき、$y=0, z=1$ or $y=1, z=0$なので、$y=0, z=1$。

$x=-1/3$ のとき、$y=z=2/3$となり、$y \le z$ を満たす。

$x \le y \le z$を満たす必要があるので、$x \le y \le z$。

$y=\frac{1-x - \sqrt{1+2x-3x^2}}{2}$, $z = \frac{1-x + \sqrt{1+2x-3x^2}}{2}$。

$x$ の範囲は $-1/3 \le x \le 1/3$。

この範囲において、$y$ は増加関数、$z$ は減少関数となる。

$x=-1/3$のとき、$y=2/3$, $z=2/3$。

$x=1/3$のとき、$y=1/3$, $z=1/3$。

$0 \le y \le 2/3$

$1/3 \le z \le 1$

問題４：

背理法で示す。

$a(1-b) > 1/4$

$b(1-c) > 1/4$

$c(1-a) > 1/4$

が同時に成立すると仮定する。

これらを掛け合わせると、

$a(1-b) b(1-c) c(1-a) > 1/64$

$abc(1-a)(1-b)(1-c) > 1/64$

相加相乗平均の関係より、

$1-a > 0$ より、 $a + (1-a) \ge 2\sqrt{a(1-a)}$

$1 \ge 2\sqrt{a(1-a)}$

$1/4 \ge a(1-a)$

同様に、$b(1-b) \le 1/4$、$c(1-c) \le 1/4$

よって、$abc(1-a)(1-b)(1-c) \le (1/4)^3 = 1/64$

これは、$abc(1-a)(1-b)(1-c) > 1/64$ に矛盾する。

したがって、３つの不等式が同時に成り立つことはない。

3. 最終的な答え

問題３：

$x$ の範囲：$-\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3}$

$y$ の範囲：$0 \le y \le \frac{2}{3}$

$z$ の範囲：$\frac{1}{3} \le z \le 1$

問題４：

３つの不等式は同時には成り立たない。