次の式を計算します。 $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

次の式を計算します。

$\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ の分母を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{2}-1$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ の分母を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ の分母を有理化するには、分母と分子に $2-\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (2-\sqrt{3}) = \sqrt{2}-1 + \sqrt{3}-\sqrt{2} + 2-\sqrt{3} = -1+2 = 1$

3. 最終的な答え

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