与えられた3つの行列の逆行列を基本変形を用いて求める。 (1) $ \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} $ (2) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix} $ (3) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の逆行列を基本変形を用いて求める。

(1)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 5 \\

-2 & 4

\end{pmatrix}

$$

(2)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

1 & 3 & 4 \\

2 & 4 & 7

\end{pmatrix}

$$

(3)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

(1) 行列$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$の逆行列を求める。

拡大行列$(A | I)$を作り、行基本変形により$(I | A^{-1})$の形に変形する。

$$

(A | I) = \begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ -2 & 4 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}

$$

2行目に1行目の2倍を加える。

$$

\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 14 & | & 2 & 1 \end{pmatrix}

$$

2行目を14で割る。

$$

\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}

$$

1行目から2行目の5倍を引く。

$$

\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ 0 & 1 & | & \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}

$$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}$

(2) 行列$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$の逆行列を求める。

拡大行列$(A | I)$を作り、行基本変形により$(I | A^{-1})$の形に変形する。

$$

(A | I) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 7 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$$

2行目から1行目を引く。3行目から1行目の2倍を引く。

$$

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$$

2行目から3行目を引く。

$$

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$$

1行目から3行目の3倍を引く。1行目から2行目の2倍を引く。

$$

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 7 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & -3 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 行列$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$の逆行列を求める。

拡大行列$(A | I)$を作り、行基本変形により$(I | A^{-1})$の形に変形する。

$$

(A | I) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & | & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$$

2行目から1行目の4倍を引く。3行目から1行目の7倍を引く。

$$

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & | & -4 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & -12 & | & -7 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$$

3行目から2行目の2倍を引く。

$$

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & | & -4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}

$$

3行目が全て0になったので、行列$A$は正則ではなく、逆行列は存在しない。

3. 最終的な答え

(1)

$$

\begin{pmatrix} \frac{2}{7} & -\frac{5}{14} \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix}

$$

(2)

$$

\begin{pmatrix} 7 & -2 & -3 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

$$

(3) 逆行列は存在しない。