与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ -3 & 1 & 5 & 4 \\ 4 & 8 & 6 & -5 \end{vmatrix}$
2025/7/27
1. 問題の内容
与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。
$\begin{vmatrix}
1 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 1 & 2 & 4 \\
-3 & 1 & 5 & 4 \\
4 & 8 & 6 & -5
\end{vmatrix}$
2. 解き方の手順
行列式を計算するために、いくつかの行または列に関する余因子展開を使用できます。ここでは、第1行に関して余因子展開を行うことから始めます。
$\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 1 & 2 & 4 \\
-3 & 1 & 5 & 4 \\
4 & 8 & 6 & -5
\end{vmatrix}
&= 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 & 4 \\
1 & 5 & 4 \\
8 & 6 & -5
\end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix}
0 & 2 & 4 \\
-3 & 5 & 4 \\
4 & 6 & -5
\end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix}
0 & 1 & 4 \\
-3 & 1 & 4 \\
4 & 8 & -5
\end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix}
0 & 1 & 2 \\
-3 & 1 & 5 \\
4 & 8 & 6
\end{vmatrix} \\
&= \begin{vmatrix}
1 & 2 & 4 \\
1 & 5 & 4 \\
8 & 6 & -5
\end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix}
0 & 1 & 4 \\
-3 & 1 & 4 \\
4 & 8 & -5
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
0 & 1 & 2 \\
-3 & 1 & 5 \\
4 & 8 & 6
\end{vmatrix}
\end{aligned}$
次に、3x3行列の行列式を計算します。
$\begin{vmatrix}
1 & 2 & 4 \\
1 & 5 & 4 \\
8 & 6 & -5
\end{vmatrix} = 1(5(-5) - 4(6)) - 2(1(-5) - 4(8)) + 4(1(6) - 5(8)) = 1(-25 - 24) - 2(-5 - 32) + 4(6 - 40) = -49 - 2(-37) + 4(-34) = -49 + 74 - 136 = -111$
$\begin{vmatrix}
0 & 1 & 4 \\
-3 & 1 & 4 \\
4 & 8 & -5
\end{vmatrix} = 0(1(-5) - 4(8)) - 1(-3(-5) - 4(4)) + 4(-3(8) - 1(4)) = 0 - 1(15 - 16) + 4(-24 - 4) = -1(-1) + 4(-28) = 1 - 112 = -111$
$\begin{vmatrix}
0 & 1 & 2 \\
-3 & 1 & 5 \\
4 & 8 & 6
\end{vmatrix} = 0(1(6) - 5(8)) - 1(-3(6) - 5(4)) + 2(-3(8) - 1(4)) = 0 - 1(-18 - 20) + 2(-24 - 4) = -1(-38) + 2(-28) = 38 - 56 = -18$
したがって、
$\begin{vmatrix}
1 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 1 & 2 & 4 \\
-3 & 1 & 5 & 4 \\
4 & 8 & 6 & -5
\end{vmatrix} = -111 + 3(-111) + (-18) = -111 - 333 - 18 = -462$
3. 最終的な答え
-462