与えられた行列の逆行列を基本変形を用いて求める問題です。具体的には以下の3つの行列について逆行列を求めます。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を基本変形を用いて求める問題です。具体的には以下の3つの行列について逆行列を求めます。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

基本変形を用いて逆行列を求めるには、与えられた行列 $A$ と単位行列 $I$ を並べた拡大行列 $(A | I)$ を作り、行基本変形を繰り返して $A$ を単位行列に変形します。このとき、$I$ の部分が $A$ の逆行列 $A^{-1}$ に変形されます。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$ の場合

拡大行列は $\begin{pmatrix} 1 & 5 &|& 1 & 0 \\ -2 & 4 &|& 0 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

2行目に1行目の2倍を加えます: $\begin{pmatrix} 1 & 5 &|& 1 & 0 \\ 0 & 14 &|& 2 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を14で割ります: $\begin{pmatrix} 1 & 5 &|& 1 & 0 \\ 0 & 1 &|& 1/7 & 1/14 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の5倍を引きます: $\begin{pmatrix} 1 & 0 &|& 2/7 & -5/14 \\ 0 & 1 &|& 1/7 & 1/14 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$ の場合

拡大行列は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &|& 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 4 &|& 0 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 7 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

2行目から1行目を引きます: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 &|& -1 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 7 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 &|& -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の2倍を引きます: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 &|& 3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 &|& -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から3行目を引きます: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 5 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 &|& -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から3行目を引きます: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 5 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 &|& 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 &|& -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ の場合

拡大行列は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &|& 1 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 &|& 0 & 1 & 0 \\ 7 & 8 & 9 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

2行目から1行目の4倍を引きます: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -6 &|& -4 & 1 & 0 \\ 7 & 8 & 9 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の7倍を引きます: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -6 &|& -4 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & -12 &|& -7 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -6 &|& -4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &|& 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に全て0が現れたので、この行列は正則ではなく、逆行列は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 2/7 & -5/14 \\ 1/7 & 1/14 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 逆行列は存在しない